pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

4 Zusammenhängende Summen
von Mannigfaltigkeiten
Im vorangegangenen Kapitel haben wir bereits eine Möglichkeit kennen gelernt, die
Fundamentalgruppe einer konstruierten Mannigfaltigkeit zu bestimmen aus den Fundamentalgruppen
der Bauteile: Erzeugen wir das Cartesische Produkt zweier Mannigfaltigkeiten
ergibt sich eine neue Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe das cartesische
Produkt der beiden Ausgangsgruppen ist. Damit lassen sich bereits zahlreiche
Mannigfaltigkeiten und deren Fundamentalgruppen beschreiben, so zum Beispiel jeder
n-dimensionale Torus und jedes beliebige Produkt aus Tori, Sphären und Kreisen.
In diesem Kapitel werden wir eine weitere Möglichkeit erarbeiten, Mannigfaltigkeiten
herzustellen, nämlich die zusammenhängende Summe von Mannigfaltigkeiten. Dabei
werden zwei Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension über einen Zylinder „verklebt“
und somit zu einer einzelnen Mannigfaltigkeit gleicher Dimension vereinigt. Dies wird
es uns erlauben, im nachfolgenden Kapitel die Flächen komplett zu bestimmen.
Mit diesem Schritt definieren wir die erste von drei Techniken, die wir in einer abschließenden
Betrachtung über das Geometrisierungsprogramm von Thurston (siehe
Kapitel 9) benutzen werden, um die Gesamtheit aller 3-Mannigfaltigkeiten zu erfassen.
4.1 Summen von Mannigfaltigkeiten
Wir können gleich zu Beginn elementar definieren, was die zusammenhängende Summe
zweier Mannigfaltigkeiten sein soll.
Definition 4.1: Seien M und N zwei Mannigfaltigkeiten der Dimension n. Dann benennt
M # N, die zusammenhängende Summe von M und N diejenige Mannigfaltigkeit,
die entsteht, wenn aus M und N jeweils ein n-dimensionaler Ball herausgeschnitten
und die entstehenden Randpunkte miteinander identifiziert werden. D.h. Seien
B i ⊆ M i mit ψ i : B n → B i diffeomorph. Die Punkte p 1 ∈ ∂B 1 und p 2 ∈ ∂B 2 seien
äquivalent, p 1 ∼ p 2 , wenn ψ 2 ◦ ψ −1
1 (p 1) = p 2 ist. Dann definiere:
M 1 # ψ1 ,ψ 2
M 2 = ( (M 1 \ ˚B 1 ) + (M 2 \ ˚B 2 ) ) / ∼
wobei „+“ die topologische Summe der Räume sein soll.
Anschaulich gesagt schneiden wir also eine Kugel, oder zumindest ein kugel-diffeomorphes
Gebilde aus unseren Mannigfaltigkeiten heraus und verkleben die entstehenden
Reste an den Randpunkten. Nun ist zu zeigen, dass das entstehende Objekt auch
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