pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

6.5. Universelle Überlagerungen
Satz 6.22: Sei M eine n-Mannigfaltigkeit, Γ ⊆ Diff(M) eine Untergruppe, die eigentlich
diskontinuierlich operiert und H = p ∗ (π 1 (M)) ⊆ π 1 (M/Γ) die charakteristische Untergruppe.
Dann ist
Γ ∼ = π 1 (M/Γ)/H.
Insbesondere ist Γ ∼ = π 1 (M/Γ), falls M einfach zusammenhängend ist.
BEWEIS: Für ein p ∈ M sei ˜p ∈ π −1 (p) fest, g ∈ Γ und ˜α ein Weg von ˜p nach g. ˜p.
Wir setzen
Φ : Γ → π 1 (M/Γ)/H : Φ(g) = [α]H,
wo α = π ◦ ˜α sei.
Wohldefiniertheit: Ist β ein weiterer Weg von ˜p nach g. ˜p, so ist ˜α ∗ ˜β −1 =: ˜ν geschlossen,
also [α] = π ∗ ([ ˜ν]) · [β] und folglich [α]H = [β]H, also ist Φ wohldefiniert.
Homomorphie: Für g 1 , g 2 ∈ Γ und entsprechende Wege ˜α i von ˜p nach g i . ˜p folgt,
dass ˜α 1 ∗ (g 1 ◦ ˜α 2 ) ein Weg von ˜p nach g 1 g 2 . ˜p ist und weiter
Φ(g 1 g 2 ) = [α 1 ][π ◦ g 1 ◦ ˜α 2 ]H = [α 1 ][α 2 ]H = Φ(g 1 )Φ(g 2 ).
Das heißt, Φ ist ein Homomorphismus.
Ist nun [α] = π ∗ ([ ˜ν]), so ist wegen Lemma 6.13 ˜α ≃ ˜ν, also ist insbesondere g. ˜p =
˜α(1) = ˜ν(1) = ˜p, und damit g = 1 (da Γ eigentlich diskontinuierlich und damit
frei operiert). Das bedeutet, dass Φ injektiv ist.
Ist weiter [α]H ∈ π 1 (M/Γ)/H und ˜α ein Lift von α mit ˜α(0) = ˜p, so existiert
nach Definition von M/Γ ein g ∈ Γ mit g. ˜p = ˜α(1). Wir erhalten daraus, dass
Φ(g) = [α]H ist. Damit ist schließlich Φ surjektiv und somit ein Isomorphismus.
Für eine bestimmte Menge von Überlagerungen sind wir nun also in der Lage, die Fundamentalgruppe
des Quotientenraumes zu bestimmen, nämlich genau für universelle
Überlagerungen. Glücklicherweise reicht es aus, solche Überlagerungen zu betrachten,
wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden.
6.5 Universelle Überlagerungen
Der folgende Satz nimmt uns die Notwendigkeit ab, Überlagerungen zu betrachten,
deren Fundamentalgruppe nicht trivial ist.
Satz 6.23: Jede Mannigfaltigkeit M hat eine universelle Überlagerung ˜M, d.h. eine Überlagerung
˜M → M mit π 1 ( ˜M) = (1).
BEWEIS: Wähle einen Basispunkt p 0 ∈ M. Definiere dazu die Menge ˜M die Menge
der Homotopieklassen [α] (mit Homotopie relativ {0, 1}), wobei α (nicht-geschlossene)
Wege in M mit Aufpunkt p 0 seien. Definiere dann die Abbildung π : ˜M →
M : π([α]) = α(1). Damit ist also π −1 (q) die Menge der Homotopieklassen von
Pfaden von p 0 nach q.
77