pdf-datei - Mathematik - Universität Tübingen

2.1. Mannigfaltigkeiten
(a) Das triviale Bündel S 1 × R ist orientierbar.
Die beiden Teile, in die das Bündel bei
Entfernung des Nullschnittes zerfällt sind
offensichtlich.
(b) Das Möbiusband ist nicht orientierbar,
da die Entfernung des Nullschnittes nur eine
Komponente hinterlässt, die sich zweimal
um den Ursprung windet.
Abbildung 2.5: Verschiedene Bündel über der gleichen Mannigfaltigkeit können verschiedene
Orientierbarkeitseigenschaften aufweisen.
Wenn also im Folgenden eine Mannigfaltigkeit M benannt wird, sind dabei implizit
also stets die Kompaktheit, die Glattheit mit dazugehöriger Struktur und die Orientierbarkeit
(nicht jedoch die Orientierung) eingeschlossen.
Mannigfaltigkeiten, die diesen Bedingungen nicht entsprechen oder Fälle, bei denen
die Struktur eine Rolle spielt, werden entsprechend gekennzeichnet sein.
2.1.2 Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten
Definition 2.12 (glatte Abbildungen): Seien (M, S) und (N, R) glatte Mannigfaltigkeiten
unbestimmter Dimensionen.
Eine stetige Funktion f : M → R heißt glatt, wenn für alle Karten ϕ : U → V mit
ϕ ∈ A und A ∈ S um p gilt: f ◦ ϕ −1 : V → R ist glatt.
Analog heißt eine stetige Abbildung Φ : M → N glatt, wenn für alle ϕ ∈ A und für
alle ψ ∈ B (und für alle Atlanten A ∈ S und alle B ∈ R) gilt, dass ψ ◦ Φ ◦ ϕ −1 glatt
ist.
Die Menge der glatten Abbildungen von M nach N wird bezeichnet mit
C ∞ (M, N) = {Φ : M → N : Φ glatt}.
Nun, da wir glatte Abbildungen definiert haben, können wir sie benutzen, um den
Begriff des Homöomorphismus anzupassen, so dass er besser zu unseren glatten Mannigfaltigkeiten
passt.
Definition 2.13 (Diffeomorphismus): Seien M und N glatte Mannigfaltigkeiten. Ist
die Abbildung Φ : M → N glatt und bijektiv und auch Φ −1 ist glatt, so heißt Φ ein
Diffeomorphismus.
Die glatten Mannigfaltigkeiten M und N heißen diffeomorph, M ∼ = N, wenn es einen
Diffeomorphismus Φ : M → N gibt.
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