Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

Kapitel 2
Vorbereitende Überlegungen
Wie in der Einleitung erwähnt, sind für den Phasenübergang in diesem System
die topologischen Anregungen (Vortizes) maßgeblich. Deshalb führen wir in Abschnitt
2.1 das 2D XY-Modell durch die Villain-Näherung, in der Vortex- und
Spinwellenanteil entkoppelt sind, in ein 2D CG über. Danach wird der Einfluß
der Unordnung auf den Grundzustand dieses Systems untersucht. Um die Unordnungsmittelung
durchzuführen, wird in Abschnitt 2.3 der erste Teil des Replikatricks
durchgeführt, indem wir das 2D CG replizieren und über die Unordnung
mitteln.
2.1 Die Villain-Näherung
In der Villain-Näherung [15, 16] macht man in der Zustandssumme (1.3) die folgende
Ersetzung, die die Periodizität des Cosinus erhält:
exp {−K (1 − cos Θ)} −→
+∞∑
p=−∞
}
exp
{− K∗
2 (Θ − 2πp)2 . (2.1)
Im allgemeinen ist K ∗ abhängig von K; für kleine Temperaturen gilt K ∗ ≈ K.
Wir nehmen im folgenden an, daß diese Abhängigkeit auf die universellen Eigenschaften
des Systems keinen Einfluß hat, und wählen K ∗ = K. Mit Hilfe der
Summationsformel von Poisson (siehe z.B. [12,29]) läßt sich der Villain-Term nun
äquivalent umformen:
+∞∑
p=−∞
exp
{− K }
2 (Θ − 2πp)2 =
1
√
2πK
∞
∑
n=−∞
}
exp
{− n2
2K + inΘ . (2.2)