Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

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6.1 Berechnung der Entropiedichte in asymptotischer Näherung 47
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Abbildung 6.2: Hier ist S(100) im Bereich sehr kleiner τ dargestellt.
mit Gleichung (5.14):
d
dl S(l) = − ∂
∂T
(
T df
dl
)
= 2π ∂
∂T
(
T 1
τ ∗ Y 2 )
. (6.4)
Man muß also den Ausdruck (2πT Y 2 (l)/τ ∗ (l)) bei festem l als Funktion des
Anfangswertes T = 1/K 0 untersuchen und entscheiden, ob diese Funktion fällt
oder steigt. Falls dieser Ausdruck für alle Parameter und Skalen l positiv ist, so
steigt die Hilfsgröße S(l) immer unter Renormierung und bleibt wegen S 0 = 0
positiv; dann hat auch die Entropiedichte S = S ∞ einen positiven Wert. Um das
zu verifizieren, wird zuerst die strenge Monotonie des Logarithmus ausgenutzt:
(6.4) hat dasselbe Vorzeichen wie
(
∂
∂T ln T 1 )
τ Y 2 . (6.5)
∗
Die Schwierigkeit besteht nun darin, daß die Funktionen τ ∗ (l) und Y 2 (l) implizit
von den Anfangswerten, also insbesondere von T = K0 −1 , abhängen. Deshalb wird
der Ausdruck (6.5) zuerst nur für l = 0 betrachtet; hier ist lediglich die Fugazität
von der Temperatur abhängig, wobei im allgemeinen ∂Y 0 /∂T ≥ 0 gilt. 1 Weiter
ist K 0 = 1/T (J 0 = 1!), und man erhält:
∂
∂T ln T ∣ {
∣∣∣l=0 1
für τ > 1
T
=
τ ∗ 0 für τ < 1 . (6.6)
Somit läßt sich die folgende Ungleichung angeben:
(
∂
∂T ln T 1 ) ∣
∣∣∣l=0
τ Y 2 = ∂ ( ) ∣ T ∣∣∣l=0
+ 1
∂Y 2
∗ ∂T τ ∗ Y 2 ∂T ∣
} {{ } } {{
l=0
}
≥0
≥0
1 Die genaue Abhängigkeit Y (T ) folgt aus (4.22).
≥ 0,
(6.7)