Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

2.3 Der Replikatrick 19
Es sollte noch erwähnt werden, daß bei einigen Systemen (z.B. Sherrington-
Kirkpatrick-Spinglas, vgl. [31]) diese Methode verallgemeinert werden muß (Replika-Symmetrie-Brechung
[31,32]), um physikalisch richtige Ergebnisse zu erhalten.
4
Um das System zu replizieren, führt man für das CG-System einen zusätzlichen
Index α, den sogenannten Replikaindex, ein und erhält aus (2.8) die replizierte
Zustandssumme n unabhängiger Systeme:
ZCG n = ∑ {
exp 2π 2 K
{qi α }
n∑ ∑
( ) }
(qi α − Q i ) G ij q
α
j − Q j . (2.30)
α=1
i,j
Nun läßt sich die Mittelung über die normalverteilten Zufallsvariablen Q i problemlos
durchführen, wobei die räumliche Korrelation durch (2.14) gegeben ist:
√
[ZCG n ] d = | det G| ∏ 2π ∑
{
exp 2π 2 K ∑ ∑
}
qi α σ
G ijqj
α ×
i
α i,j
∫ ∞
−∞
( ∏
i
{q α i }
) {
dQ i exp − 1 ∑
(
}
Q i − 4π2
2
σ
− n4π2 K
)G ij Q j ×
i,j
{
exp i ∑ Q i i4π 2 K ∑ ∑
qj α G ij
}.
i
α j
Als Ergebnis erhält man dann durch einfache Gauß’sche Integration:
[ZCG n ] d = 1 ∑
{
√∏
i (1 + nσK) exp 2π 2 K ∑ ∑
}
qi α G ijqj
α ×
{qi α }
α i,j
{ −2π 2 σK 2 ∑ ∑
}
exp
qi α 1 + nσK
G ijq β j .
α,β
i,j
(2.31)
(2.32)
Es wird deutlich, daß sich die Struktur der Zustandssumme durch die Mittelung
über die Unordnung geändert hat, denn nun sind Kopplungen nicht nur innerhalb
eines Replikas, sondern auch zwischen verschiedenen Replikas vorhanden; dabei
ist die Wechselwirkung Replika-symmetrisch, das heißt, beim Vertauschen zweier
Replikas bleibt die Zustandssumme invariant. Außerdem erkennt man, daß für
die untersuchte Art der Unordnung die räumliche Abhängigkeit der unordnungsinduzierten
und ursprünglichen Wechselwirkung identisch ist. Dies ist später für
die RG-Behandlung des Problems von entscheidender Bedeutung.
Wenn wir nun die Näherung (2.16) für die Gitter-Greensfunktion anwenden und
die Ladungen der verschiedenen Replikas an einem Ort i zu einem Vektor
q i = (q 1 i , . . . , q α i , . . . , q n i ) (2.33)
4 Ein Ziel der Arbeit ist zu untersuchen, ob wir dies für unseren Fall ausschließen können.