Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

76 Anhang
B
Die Summen aus den Gleichungen (3.29) und
(3.30)
Hier sind die Summen, die in den Gleichungen (3.29) und (3.30) vorkommen,
explizit ausgeführt; außerdem wird der Wert für den Replika-Limes n → 0 angegeben.
∑
(K αγ ) 2 = (n − 1) ˆK 2 +
γ
n→0
−→ K 2 − 2K ˆK,
(
K − ˆK
) 2
= n ˆK2 − 2K ˆK + K 2
(9.5)
∑
K αγ K βγ = (n − 2) ˆK 2 − 2 ˆK
γ
α≠β
n→0
−→ −2K ˆK,
∑
K αγ K βδ = − (n − 1) ˆK
γ≠δ
∑
γ≠δ
α≠β
−
(
K − ˆK
)
(n − 1) ˆK
(
K − ˆK
)
= n ˆK 2 − 2K ˆK
(
− (n − 2) ˆK
(
+ K − ˆK
))
= (n − 1) 2 ˆK2 − 2 (n − 1) K ˆK + (n − 1) ˆK 2
n→0
−→ 2K ˆK,
K αγ K βδ = − ˆK
(
(n − 2) − ˆK
(
(n − 2) + K − ˆK
))
+ ˆK 2 (n − 1) − ˆK
(
K − ˆK
) (
(n − 2) + K − ˆK
) 2
(9.6)
(9.7)
(9.8)
n→0
−→ K 2 + 2K ˆK.