Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

56 7 Das kritische Verhalten einiger Größen
Die Größe ξ ref wird dabei als Korrelationslänge im metallischen Bereich interpretiert;
ξ 0 gibt diese Größe in der Nähe des Übergangs an. Bei Annäherung an die
kritische Fläche (Y min → 0) divergiert ξ 0 . Eine Divergenz der Korrelationslänge
ist typisch für einen Phasenübergang; diese Singularität ist genau wie im reinen
System wesentlich, also kein Pol wie üblich bei Phasenübergängen zweiter Ordnung.
Um den physikalisch relevanten Zusammenhang zu erhalten, werden wir nun die
Größe Y min durch die Abweichungen von der kritischen Fläche (K0 −1 − Kc
−1 ) darstellen;
wenn wir uns auf eine Annäherung bei konstanter Unordnungsstärke beschränken,
gilt (σ 0 − σ c ) = 0. Dabei gibt das Parameterpaar (Kc
−1 , σ c ) einen
Punkt der Phasengrenze an. Wenn man die Konstante der Bewegung (5.20) für
die beiden Trajektorien, die am Punkt (Kc
−1 , σ c , Y c ) bzw. (K0 −1 , σ 0 , Y 0 ) starten,
verwendet und sie jeweils auf die Werte bei (Kp
−1,
σ p) bezieht, erhält man den
genauen Zusammenhang:
Ymin 2 = ( [
Y0 2 − Y )
c
2 − π
−3 (K )
−1
0 − Kc
−1 π +
2 σ (K 0 − K c ) − π 2 ln K ]
0
. (7.8)
K c
Diesen Ausdruck kann man nun nach den oben angegebenen Abweichungen von
der kritischen Fläche entwickeln, wobei Y0/c 2 durch Gleichung (4.22) gegeben ist;
man erhält dann
Ymin 2 = ν ( )
K0 −1 − Kc
−1 . (7.9)
Nun setzten wir dies in den Ausdruck für die Korrelationslänge ein und identifizieren
T = K −1
0 :
√
ξ 0 = ξ ref e πκ−1 / ν(T −T c) . (7.10)
Dies entspricht genau dem kritischen Verhalten der Korrelationslänge wie im
reinen System. Für τ > 1 ist der Übergang also dem BKT-Übergang ohne Unordnung
sehr ähnlich, da die Singularität der freien Energie vom gleichen Typ
ist; wenn man die üblichen RG-Argumente anwendet, erhält man nämlich:
f g ∝ ξ −2
0 ∝ e −2πκ−1√ ν(T −T c) . (7.11)
Bei schwacher Unordnung ändern sich für τ > 1 die kritischen Eigenschaften gegenüber
dem reinen System also nur geringfügig. Nach wie vor kann der kritische
Exponent, der die Divergenz der Korrelationslänge bei Annäherung an die kritische
Temperatur beschreibt, mit ν = ∞ angegeben werden. In diesem Sinne kann
man bei schwacher Unordnung nach wie vor von einem BKT-Übergang sprechen.
Im Rahmen von Näherung II wäre es möglich, dies auch für τ < 1 durchzuführen;
da die Näherung dort allerdings keine physikalische Relevanz besitzt, verzichten
wir darauf.