Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

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4.2 Berücksichtigung aller Ladungstypen (Näherung I) 35
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Abbildung 4.1: Anfangsbedingung für Y in Abhängigkeit von K −1 und σ nach Gleichung
(4.22).
4.2 Berücksichtigung aller Ladungstypen (Näherung
I)
Nachdem der Lösungsansatz aus dem letzten Kapitel nur bedingt zufriedenstellende
Ergebnisse liefert, berücksichtigt Scheidl [1] nun alle Vektorladungstypen
auf einmal: Alle zusammen sollen gleichzeitig zum Phasenübergang beitragen;
d.h. die Summen ∑ ν
. . . werden explizit ausgeführt. Man erhält dann analytische
Funktionen von n, so daß der Replika-Limes einfach durchgeführt werden
kann. Als Beispiel behandeln wir die Summe aus der RG-Gleichung für f (3.21).
Der quadratische Term in m 1,ν wird dabei durch eine Gauß-Transformation linearisiert:
∑
ν
Y 2
ν
= e 4l ∑ ν
{
}
exp −2Em 0,ν + 2Êm2 1,ν =
= e ∑ [ {
√ }]
4l exp −2Em 0,ν + 2A 2Êm 1,ν =
A
ν
[ ∑ (
)
= e 4l α
exp {−2E} (qα ν ) 2 ( { √
exp 2A 2Ê
{qν α}≠0 { √ }
= e
[(1 4l + exp −2E + 2A 2Ê
{ √ } ) n
+ exp −2E − 2A 2Ê − 1
]
.
A
})
α qα ν
]
A
=
(4.20)
Dabei ist A eine gauß’sche Zufallsvariable mit Mittelwert [A] A
= 0 und zweitem
Moment [A 2 ] A
= 1; [. . . ] 2 A
stellt das Mittel bezüglich der Zufallsgröße A dar. Wie