Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

1.2 Unordnung in der statistischen Mechanik 7
1.2 Unordnung in der statistischen Mechanik
Die obigen Überlegungen galten für reine Systeme wie dem durch (1.1) definierten.
Wir diskutieren nun die formale Behandlung von Unordnung, die reine Systeme
in zufälliger Weise stört, in der statistischen Mechanik. Man unterscheidet
zwei Arten von Unordnung: Zum einen eingefrorene Unordnung ( ”
quenched disorder“),
deren Konfiguration sich unabhängig von den thermischen Freiheitsgraden
einstellt, und auf der anderen Seite ”
annealed disorder“, deren Konfiguration
selbst thermisch fluktuiert. Mathematisch bedeutet dies, daß es im zweiten Fall
ausreicht, die Zustandssumme über die Unordnung zu mitteln, um das Unordnungsmittel
physikalischer Größen zu berechnen, während man im eingefrorenen
Fall die freie Energie, also den Logarithmus der Zustandssumme, mitteln muß.
Dies stellt ein erheblich größeres Problem dar, das allerdings auf Kosten neuer
Schwierigkeiten durch den Replikatrick umgangen werden kann.
Eine solche Mittelung ist nur sinnvoll, wenn man annimmt, daß die physikalischen
Größen eines Systems mit Unordnung durch den Mittelwert gut beschrieben werden
und die Abhängigkeit von der speziellen Realisierung der Unordnungskonfiguration
schwach ist. Dies ist aufgrund folgender Überlegung in vielen Fällen
mit genügend kurzreichweitiger Korrelation erfüllt: Ein System im thermodynamischen
Limes kann in viele unkorrelierte, makroskopisch große Teilsysteme
unterteilt werden; in jedem dieser Teilsysteme ist das Verhalten durch eine andere
Unordnungskonfiguration bestimmt, und die Eigenschaften des Gesamtsystems
sind dann durch das Mittel über alle Teilsysteme gegeben. 2
Im folgenden betrachten wir den Einfluß eines bestimmten Typs von eingefrorener
Unordnung auf den BKT-Übergang: Wir führen zufällig verteilte Phasenverschiebungen
auf den Bindungen im XY-Modell ein.
Bei tiefen Temperaturen erwarten wir sehr starken Einfluß von Unordnung, da
hier keine thermischen Fluktuationen mehr auftreten, und die Freiheitsgrade aufgrund
der Wechselwirkung untereinander eigentlich einen geordneten Zustand bevorzugen;
durch die Unordnung wird dieser Zustand aber gestört. Eine interessante
Frage ist dann, ob schon durch eine schwache, angelegte Störung die geordnete
Phase zerstört wird oder weiterhin existiert. Wenn letzteres gilt, ist von Interesse,
ob (und wenn ja wie) sich die Eigenschaften des Übergangs ändern; wichtig ist,
ob sich die Universalitätsklasse oder nur nicht-universelle Eigenschaften wie die
Übergangstemperatur ändern.
Einen ersten Hinweis für die oben eingeführte Art der Unordnung erhält man
durch das Harris-Kriterium [11, 17]: Da im reinen 2D XY-Modell die Bedingung
2 − dν < 0 (d = 2 und ν ”
unendlich“) gilt, 3 ist es trotz (schwacher) Unordnung
möglich, daß der BKT-Übergang dadurch nur geringfügig verändert wird.
2 Dies entspricht der gewöhnlichen Ensemble-Idee in der statistischen Physik. Ein System
mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als ”
selbstmittelnd“.
3 ν ist der kritische Exponent, der die Divergenz der Korrelationslänge bei Annäherung an
den Übergang beschreibt.