Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

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6.2 Numerische Untersuchung der Flußgleichungen in Näherung I 51
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Abbildung 6.5: Hier ist die Größe S(100) ≈ S für die RG-Gleichungen aus Näherung I
dargestellt; an der Phasengrenze steigt die Entropiedichte stark an.
Wegen dieser Instabilität betrachten wir eine Linie von Startwerten, die ein wenig
innerhalb der BKT-Phase liegen, und verfolgen deren renormierte Werte; diese
Linie wird dabei erzeugt, indem wir die Punkte der Phasengrenze verwenden
und sowohl die Unordnungsstärke als auch die inverse Kopplungskonstante um
ein Prozent verringern. In Abb. 6.3 sind neben der Phasengrenze und der entsprechenden
Linie für Y 2 = 0 (5.15) auch die renormierten Punkte zu diesen
Startwerten dargestellt. Die letzteren liegen wie erwartet unterhalb der Phasengrenze
für Y 2 = 0.
Um diese Ergebnisse mit denen aus Näherung II zu vergleichen, sind in Abb. 6.4
beide Phasengrenzen aufgetragen. Dabei erkennt man, daß bei Unordnungsstärken
σ 0.3 die Übergangstemperaturen identisch sind; ein reentrance“-Verhalten
”
wie in Näherung II kann in Näherung I nicht festgestellt werden.
Im zweiten Teil dieses Abschnitts untersuchen wir nochmals die Entropiedichte,
nun unter Verwendung der RG-Gleichungen in Näherung I, darauf, ob sie immer
positiv ist. Die allgemeinen Überlegungen können wir dabei aus Abschnitt 6.1
übernehmen. Die Renormierung der Hilfsgöße S(l) ist nach wie vor durch den
ersten Teil der Gleichung (6.4) gegeben; es ist lediglich zu beachten, daß die
Renormierung von f nun durch die Gleichung (4.25) bestimmt wird:
d
dl S(l) = − ∂
∂T
(
T df
dl
)
= πe 4l ∂
∂T
(
T
[
ln (1 + z + + z − )
]
A
)
. (6.10)
Diese Gleichung wird zusammen mit den restlichen RG-Gleichungen aus Abschnitt
4.2 numerisch integriert. Als Ergebnis ist S(100) in Abb. 6.5 dargestellt.
Hier treten die gleichen numerischen Probleme bei kleinen Temperaturen und
großen Unordnungsstärken auf wie vorher bei der Berechnung der Phasengrenze;
leider betreffen sie genau den Bereich, in dem die asymptotisch genäherten Gleichungen
die negative Entropie liefern.
Es gibt aber einen anderen Hinweis darauf, daß die Entropie auch in Näherung
I negativ wird: Wenn wir wie in Abschnitt 6.1 die Anfangsbedingungen so