Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

3.4 Qualitative Diskussion des RG-Flusses 29
3.4 Qualitative Diskussion des RG-Flusses
In diesem Abschnitt leiten wir einige Ergebnisse aus den RG-Gleichungen für das
replizierte System ab. Da wir aber eigentlich an den Gleichungen im Replika-
Limes n → 0 interessiert sind, fällt die Diskussion knapp und qualitativ aus.
Für n = 1 und σ = 0 erhält man die bekannten Gleichungen für das reine System.
Für den Fall n > 1 werden wir den Phasenfluß qualitativ untersuchen. Die BKT-
Phase wird schon zerstört, sobald nur ein Vektorladungstyp dissoziiert; deshalb
treiben die Ladungstypen mit der geringsten Kopplung den Übergang. In den RG-
Gleichungen sind dies die Ladungstypen, deren Fugazität unter Renormierung am
stärksten steigt bzw. am geringsten fällt. Für die entsprechenden Typen ν muß
also gelten (vgl. (3.9)):
(
)
4 − 2πK m 0,ν − m 2 σK
1,ν
ist maximal. (3.31)
1 + nσK
Man muß also m 1,ν maximal wählen, woraus folgt, daß m 1,ν = m 0,ν gilt (siehe
(3.3) und (3.4)). Daraus erhält man eine nach oben geöffnete Parabel für m 0,ν ,
die die maximalen Werte an den Grenzen m 0,ν = 1 oder m 0,ν = n annimmt. Im
Hochtemperatur-Bereich σK < 1 sind dann die Ladungstypen mit m 0,ν = m 1,ν =
1 relevant; für kleine Temperaturen σK > 1 bestimmt m 0,ν = m 1,ν = n die entscheidenden
Vektorladungstypen. In zwei verschiedenen Parameterbereichen sind
also verschiedene Vektorladungstypen für den Übergang verantwortlich.
Dadurch ist ein weiterer Hinweis gegeben, daß es nicht gerechtfertigt ist, lediglich
einen einzigen Ladungstyp wie in [2] zu betrachten. Man muß also auch im
Replika-Limes mehr als nur einen Vektorladungstyp in Betracht ziehen.
Davon abgesehen ist zu beachten, daß man außerhalb der BKT-Phase unphysikalische
Ergebnisse erhält, da die Fugazitäten dort auf Längenskalen, die groß
genug sind, beliebig anwachsen; zudem verläßt man dabei den Gültigkeitsbereich
der Gleichungen. Bis auf eine Ausnahme (siehe 7.1), wo dieses Problem umgangen
werden kann, werden wir die RG-Gleichungen deshalb nur innerhalb der BKT-
Phase verwenden. Grundsätzlich kann man das Problem dadurch lösen, daß die
Beiträge höherer Ordnung in den Fugazitäten berücksichtigt werden, die bei der
Herleitung der RG-Gleichungen in dieser Arbeit vernachlässigt wurden. Bei der
Untersuchung des BKT-Übergangs spielen sie allerdings keine Rolle.
3.5 Replika-Korrelationsfunktionen
In diesem Abschnitt werden die Ladungsdichte-Korrelationsfunktionen im replizierten
System innerhalb der BKT-Phase betrachtet. Man kann dabei zwei Typen
unterscheiden: Zum einen gibt es die Korrelation innerhalb einer Replikaebene
und zum anderen die zwischen zwei verschieden Replikas.
Die Vektorladungsdichte ρ(r) eines Systems mit den Vektorladungen {q ν i } an den