Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

80 Anhang Wenn man die explizite l-Abhängigkeit einsetzt, erhält man als Ergebnis: { 2e −2πK(1−σK)l für τ > 1 I ≈ √ 2σ πτ e π π 2 2σ l für τ < 1 . (9.26) l sin πτ Als nächstes wird das Integral aus Gleichung (4.23) I dis = 2e −4l Y 2 dis untersucht: I dis = 1 π ∫ ∞ −∞ ( ) 2 z+ − z − dA ≈ 2 1 + z + + z − π ∫ ∞ 0 ( ) 2 z+ dA . (9.27) 1 + z + Zur Berechnung schreibt man z − aus Gleichung (4.21) folgendermaßen um: z − = ỹ˜z − , (9.28) wobei ỹ = exp(−2E) und ˜z − = 2A(2Ê)1/2 . Dann verwendet man die folgende Identität: ( ) 2 z+ = −ỹ 2 ∂ ( ) ỹ −1 z + . (9.29) 1 + z + ∂ỹ 1 + z + Da ỹ unabhängig von A ist, läßt sich das gesuchte Integral einfach berechnen: I dis ≈ −ỹ 2 ∂ ∂ỹ (ỹ−1 I ) = −ỹ 2 ∂E ∂ỹ ∂ (ỹ−1 I ) = 1 ∂ (ỹ−1 I ) . (9.30) ∂E 2ỹ ∂E Für τ > 1 erkennt man, daß es nicht ausreicht, den führenden Term aus Gleichung (9.24) zu verwenden, da man sonst als Ergebnis null erhält; dies ist nicht möglich, da sonst I dis selbst identisch null wäre. Das heißt, man muß zur Berechnung von I dis auch noch den nächsten Term in I berücksichtigen. Im Bereich τ > 2 trägt (−2 exp{−4E + 8Ê}) in nächster Ordnung bei (vgl. I < 2 in Gl. (9.17)): ∂ ( ) 2ỹ −1 e −4E+8Ê = ∂ ( ) 2e −2E+8Ê = −4e −2E+8Ê. (9.31) ∂E ∂E Insgesamt erhält man dann für τ > 2: I dis ≈ 2e −4E+8Ê. (9.32) Für τ < 2 sind die einzigen Terme, die nach der Ableitung erhalten bleiben, durch den Faktor exp(−α 2 ), dessen Beitrag schon in Gleichung (9.25) berechnet wurde: ( ) ∂ −E2 /2Ê+2E π 1 e √ = ∂E 2πÊ sin πE/2Ê [ ( = e −E2 /2Ê+2E π 1 √ 2 1 − E ) ] (9.33) π cos πE/2Ê − . 2πÊ sin πE/2Ê 2Ê 2Ê sin πE/2Ê
D Die Integrale aus den Gleichungen (4.22-4.24) 81 Der zweite Summand wird dabei vernachlässigt, da er zusätzlich mit 1/Ê ∝ 1/l abfällt. Man erhält dann für I dis den folgenden Ausdruck: { 2e −4πK(1−2σK)l für τ > 2 I dis ≈ √ 2σ πτ(1−τ) π 2 l sin πτ e(π/2σ)l für τ < 2 . (9.34) Nun ist es einfach, das Integral I con = 2e −4l Ycon 2 zu berechnen; man verwendet dabei die Bedingung Y 2 = Ydis 2 + Y con, 2 die auch in dieser Näherung gelten soll. Daraus erhält man den folgenden Ausdruck, wenn man lediglich die für große l dominierenden Term berücksichtigt: I con ≈ { 2e −2πK(1−1/2τ)l für τ > 1 √ 2σ π 2 l πτ 2 sin πτ e(π/2σ)l für τ < 1 . (9.35) Somit sind alle drei Integrale in asymptotischer Näherung berechnet.
Seite 1 und 2:
Institut für Physik Universität A
Seite 3 und 4:
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 5 1
Seite 5 und 6:
Kapitel 1 Einleitung In dieser Arbe
Seite 7 und 8:
1.2 Unordnung in der statistischen
Seite 9 und 10:
1.4 Aufbau dieser Arbeit 9 das Mode
Seite 11 und 12:
Kapitel 2 Vorbereitende Überlegung
Seite 13 und 14:
2.1 Die Villain-Näherung 13 j a m
Seite 15 und 16:
2.1 Die Villain-Näherung 15 a = b
Seite 17 und 18:
2.2 Der Grundzustand des Coulombgas
Seite 19 und 20:
2.3 Der Replikatrick 19 Es sollte n
Seite 21 und 22:
Kapitel 3 Kosterlitz-Renormierung d
Seite 23 und 24:
3.1 Reskalierung des Gitterabstands
Seite 25 und 26:
3.2 Ausintegrieren kleiner Ladungsp
Seite 27 und 28:
3.3 Umformulierung der RG-Gleichung
Seite 29 und 30: 3.4 Qualitative Diskussion des RG-F
Seite 31 und 32: Kapitel 4 Der Replika-Limes n → 0
Seite 33 und 34: 4.1 Die Eintyp-Näherung 33 Unter d
Seite 35 und 36: £ © 4.2 Berücksichtigung aller
Seite 37 und 38: 4.2 Berücksichtigung aller Ladungs
Seite 39 und 40: 5.1 Herleitung der vereinfachten RG
Seite 41 und 42: 6 M M 5.2 Eigenschaften des RG-Flus
Seite 43 und 44: 5.2 Eigenschaften des RG-Flusses 43
Seite 45 und 46: Kapitel 6 Vergleich von Näherung I
Seite 47 und 48: † † |[ƒ]||B|„ |[ƒ]||B|5…
Seite 49 und 50: ž ž 6.2 Numerische Untersuchung d
Seite 51 und 52: ºcÀ]ºBÁ ºcÀ]ºBÂ ºcÀ]ºÃ
Seite 53 und 54: Kapitel 7 Das kritische Verhalten e
Seite 55 und 56: 7.1 Divergenz der Korrelationsläng
Seite 57 und 58: 7.2 Physikalische Bedeutung der Rep
Seite 59 und 60: 7.3 Die Dielektrizitätskonstante 5
Seite 61 und 62: 7.4 Kritische Exponenten im 2D XY-M
Seite 63 und 64: 7.4 Kritische Exponenten im 2D XY-M
Seite 65 und 66: Kapitel 8 Die Monte-Carlo-Simulatio
Seite 67 und 68: 8.1 Der MC-Algorithmus 67 Abbildung
Seite 69 und 70: ô ( R ú ÿ ÿ ðúû ðúþ " N N
Seite 71 und 72: 8.2 Ergebnisse der MC-Simulation 71
Seite 73 und 74: dem Sinne in Einklang, daß auch be
Seite 75 und 76: Anhang A Herleitung von Gleichung (
Seite 77 und 78: C Berechnung von (3.26-3.28) 77 C B
Seite 79: D Die Integrale aus den Gleichungen
Seite 83 und 84: Literaturverzeichnis [1] S. Scheidl
Seite 85: LITERATURVERZEICHNIS 85 [34] I.N. B
Alle anzeigen

Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?