Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

Kapitel 6
Vergleich von Näherung I mit
Näherung II
In diesem Kapitel werden wir die beiden Näherungen I und II vergleichen. Dazu
betrachten wir die Phasengrenze und die Entropiedichte. Wir untersuchen die
RG-Gleichungen besonders darauf, ob sie zu negativen Entropiedichten führen,
was ihre Fehlerhaftigkeit anzeigt.
Im ersten Teil wird deshalb die Entropiedichte in Näherung II bestimmt, während
wir im zweiten Teil sowohl die Phasengrenze als auch die Entropiedichte, die die
RG-Gleichungen aus Näherung I liefern, durch numerische Verfahren berechnen.
6.1 Berechnung der Entropiedichte in asymptotischer
Näherung
In diesem Abschnitt wird die Entropiedichte in Näherung II berechnet, um deren
Korrektheit zu überprüfen, da eine negative Entropiedichte einen deutlichen
Hinweis auf fehlerhafte RG-Gleichungen liefert.
Um die Entropiedichte zu bestimmen, sind zunächst einige allgemeine Vorüberlegungen
durchzuführen. Wir betrachten dazu das Renormierungsverhalten der
gesamten freien Energiedichte anhand von Gleichung (3.22):
f a (K 0 , σ 0 , Y 0 ) f g (K 0 , σ 0 , Y 0 ) = e −2l f g (K(l), σ(l), Y (l)) + f(l) =
= lim e −2l f g (K(l), σ(l), Y (l)) +f ∞ , (6.1)
l→∞
} {{ }
=0,wegen Y ∞=0
wobei vorausgesetzt wird, daß man sich innerhalb der BKT-Phase befindet, also
Y ∞ = 0. Damit läßt sich grundsätzlich die freie Energie des Systems berechnen,
indem man die Differentialgleichungen (5.11-5.14) bis l = ∞ aufintegriert und
die Größe f ∞ erhält, die natürlich von den Startwerten K 0 , σ 0 und Y0 2 abhängt;
als Anfangswert muß dabei f 0 = 0 gewählt werden.