Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

7.2 Physikalische Bedeutung der Replika-Korrelationsfunktionen 57
7.2 Physikalische Bedeutung der Replika-Korrelationsfunktionen
In diesem Abschnitt werden die Ladungsdichte-Korrelationsfunktionen des Systems
mit Unordnung untersucht. Die Ladungsdichte setzt sich im Villain-Modell
aus Punktladungen an den Positionen x i zusammen:
ρ (r) = ∑ i
q i δ (r − x i ) . (7.12)
Von Interesse sind dabei die beiden Korrelationsfunktionen
[〈ρ (0) ρ (r)〉] d
und (7.13)
[〈ρ (0)〉 〈ρ (r)〉] d
. (7.14)
Diese Funktionen hängen natürlich wieder nur vom Abstand r = |r| ab, da das
System nach dem Unordnungsmittel wieder isotrop und homogen ist.
Bisher wurden nur die Korrelationsfunktionen C αβ (r) im replizierten System berechnet.
Im Replika-Limes wird deren Zusammenhang mit den oben angegebenen
Größen (7.13) und (7.14) deutlich. Dazu muß man sich genau klarmachen, mit
welcher Verteilung die thermischen Mittel durchgeführt werden:
〈
lim
n→0 Cαβ (r) = lim ρ α (0) ρ β (r) 〉 =
n→0
= lim
n→0
{ 1
[Z n CG ] d
∑
ρ α (0) ρ β (r)
{q α i }
[
e −
{ [ 1 ∑
= lim
n→0 [ZCG n ] ρ α (0) ρ β (r) e −
d
{qi α }
]
α H({qα i },{Q i})
α H({qα i },{Q i})
}
=
d
(7.15)
]
Wenn man nun innerhalb des Unordnungsmittels mit der entsprechenden ungemittelten
Zustandssumme ZCG n erweitert und dabei beachtet, daß die verschiedenen
Replikas dort nicht gekoppelt sind, so erhält man das folgende Ergebnis:
{
1 [Z
lim
n→0 Cαβ CG n (r) = lim
〈ρ (0) ρ (r)〉] d
für α = β
n→0 [ZCG n ] d [ZCG n 〈ρ (0)〉 〈ρ (r)〉] d
für α ≠ β . (7.16)
Da lim n→0 ZCG
n = 1 gilt, erhält man im Replika-Limes einen Zusammenhang
zwischen den bereits bekannten und den gesuchten Korrelationsfunktionen (vgl.
Gleichungen (3.35-3.37)); dabei muß l = ln(r/a 0 ) gewählt werden:
[〈ρ (0) ρ (r)〉] d
= C (r) = − 2 r 4 Y 2 (l) , (7.17)
[〈ρ (0)〉 〈ρ (r)〉] d
= C dis (r) = − 2 r Y 2
4 dis (l) , (7.18)
C con (r) = C (r) − C dis (r) = − 2 r 4 Y 2
con (l) . (7.19)
d
}
.