Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

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5.2 Eigenschaften des RG-Flusses 41
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MNGQP MNGJO
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Abbildung 5.1: Analyse der Flußgleichungen (4.11-4.13) aus Näherung II. Die durchgezogenen
Linien zeigen die Grenze der BKT-Phase für Y 2 → 0 sowie die Linie τ = 1.
Die gestrichelte Linie ist die Phasengrenze für endliche Anfangswerte der Fugazität
nach (4.22). Die gepunkteten Linien sind Projektionen von Trajektorien, die auf der
kritischen Fläche laufen, in die K −1 -σ-Ebene.
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Dies ist in Abbildung 5.1 dargestellt. Man erkennt sofort, daß die Ergebnisse
für den Grundzustand aus Abschnitt 2.2 im Limes K −1 → 0 mit denen aus den
RG-Gleichungen gewonnenen Resultaten übereinstimmen: Die Unordnungsstärke
σ = π/8 ist der maximale Wert, bei dem noch quasi-langreichweitige Ordnung
existieren kann.
Diese Phasengrenze für Y 2 = 0 gilt vermutlich nicht nur in asymptotischer Näherung,
denn aufgrund folgender Überlegung ist plausibel, daß sie auch für die
ursprünglichen Gleichungen (4.26-4.29) in Näherung I gelten sollte: Man startet
mit einer Trajektorie an einem beliebigen Anfangswert innerhalb der BKT-Phase;
diese läuft mit wachsendem l gegen Y 2 = 0. Irgendwann läuft diese Trajektorie
dann in den Gültigkeitsbereich der asymptotischen Näherung, und das Verhalten
für Y 2 ≈ 0 wird dadurch richtig beschrieben. Dies ist in den Gleichungen (4.26-
4.29) leider nicht direkt erkennbar, da Y 2 selbst darin nicht vorkommt.
Man erhält also eine kritische Fläche, die durch die marginalen Trajektorien gegeben
ist, die gerade noch gegen Y = 0 laufen. Anhand einiger auf ihr verlaufender
Trajektorien ist dies in Abb. 5.2 dargestellt.
Da die inverse Kopplung K −1 und die Unordnungsstärke σ im Laufe der Renormierung
steigen, sollten die kritischen Werte Kc
−1 und σ c , an denen der Übergang
stattfindet, immer unterhalb der Grenzlinie (5.15) liegen; insbesondere gilt:
K −1
c < π 2
und σ c < π 8 . (5.16)