Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

2.1 Die Villain-Näherung 15
a = b ist der Beitrag 4σ. Dies sind alle Beiträge, und daher folgt die Form
[Q a Q b ] d
= σ (
4δ
4π 2 ab − ∑ )
δ a,b+µ = σ −1 ˜G
4π2 ab . (2.14)
µ
1.BZ
˜G
−1
ab
Da die Matrix einen Eigenwert null hat, besitzt sie strenggenommen keine
−1
Inverse. Man wählt deshalb eine Inverse −G ab des regulären Anteils von ˜G
ab
so,
daß G aa = 0 gilt. ˜Gab wird also durch −G ab ersetzt, wobei G(x a − x b ) = G ab
durch das folgende Fourierintegral dargestellt wird:
∫
d 2 k 1 − e ikx
G (x) =
(2π) 2
. (2.15)
4 − 2 cos k x − 2 cos k y
Dabei symbolisiert 1.BZ die erste Brillouin-Zone des Quadratgitters mit dem elementaren
Gitterabstand a 0 . Dieses Integral läßt sich in guter Näherung analytisch
darstellen (siehe [12]):
{
0 für x = 0
G (x) ≈ ( )
1
ln | x 2π a 0
| + π . (2.16)
für |x| ≥ a
2
0
Die Gitter-Greensfunktion G(x) divergiert für große Abstände logarithmisch; deshalb
divergiert auch die Feldenergie eines Vortex logarithmisch mit der Systemgröße.
Das bedeutet, daß nur solche Konfigurationen eine endliche Feldenergie
besitzen und folglich zu Z V beitragen, für die die globale Neutralitätsbedingung
erfüllt ist:
∑
q i = 0. (2.17)
i
Das Einsetzen von (2.16) in (2.8) und Gleichung (2.17) ergibt für die Zustandssumme
des neutralen 2D CG den Ausdruck (i, j bezeichnen nun die Gitterplätze
des dualen Gitters):
Z CG = ∑ {
exp πK ∑ (q i − Q i ) ln |x i − x j |
(q j − Q j )
a 0
{q i }
i≠j
(2.18)
− E ∑ i
(q i − Q i ) 2 }.
Der on-site-Term E = π2 K wird im reinen System als core-Energie eines Vortex
2
interpretiert. Im ungeordneten System ist diese Interpretation allerdings problematischer,
da auch Terme der Form EQ i q i auftreten.
In den weiteren Kapiteln wird der Sprachgebrauch dahingehend geändert, daß das
System aufgrund der logarithmischen Wechselwirkung als neutrales (vgl. (2.17))
Coulombgas aufgefaßt wird und folglich nicht mehr von Vortizes, sondern von
Ladungen gesprochen wird; die Zufallsgrößen sind dann externe Ladungen Q i ,
die als Dipole angeordnet sind.