Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

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68 8 Die Monte-Carlo-Simulation lation erhalten wir die ortsabhängige gemittelte Korrelationsfunktion C con , die wir dann fouriertransformieren. Da wir den Grenzwert k → 0 nicht durchführen können, verwenden wir wie von Lee und Teitel [37] vorgeschlagen den Ausdruck [ ] ɛ −1 0 ≈ 1 ([ ] d ɛ −1 2 (2πˆx/L) + [ ɛ −1] (2πŷ/L)) , (8.3) d d wobei ˆx, ŷ die Einheitsvektoren in x- bzw. y-Richtung repräsentieren; das heißt, wir mitteln über die kleinsten Wellenvektoren k ≠ 0 in der Brillouin-Zone. 8.2 Ergebnisse der MC-Simulation Im folgenden werden wir die MC-Ergebnisse dazu verwenden, die Übergangstemperatur in Abhängigkeit von σ zu bestimmen. Dazu wurde zu verschiedenen Temperaturen K −1 und Unordnungsstärken die mittlere inverse Dielektrizitätskonstante [ɛ −1 0 ] d auf einem 32 × 32-Quadratgitter bestimmt. Aufgrund des Rechenzeitaufwands wurde [ɛ −1 0 ] d nur über fünf Unordnungskonfigurationen gemittelt. Zu jedem Parameterpaar (K, σ) berechneten wir fünf oder sechs Datenpunkte; der Mittelwert und die Standardabweichung dieser Werte sind in Abb. 8.3 dargestellt. Aufgrund der Mittelung über nur wenige Unordnungsrealisierungen ist der Fehler hauptsächlich durch die Unordnung bestimmt; deutlich wird das dadurch, daß für steigende σ die Abweichungen wesentlich größer werden als für das reine System. Wie wir im letzten Abschnitt bereits festgestellt haben, können wir die Phasengrenze lediglich im Bereich K < 1.2 untersuchen. Deshalb reichen unsere Daten nicht aus, um eine Entscheidung über das Vorhandensein von reentrance“-Verhalten zu treffen, das erst für K > 4/π erwartet werden kann. Wir müssen ” uns also darauf beschränken zu untersuchen, ob bei gegebener Unordnung im Bereich K < 1.2 ein Phasenübergang stattfindet, und wo dieser liegt. Dabei prüfen wir die Konsistenz mit den Ergebissen aus der asymptotischen Näherung, deren Gültigkeit wir in diesem Gebiet erwarten. Um die Phasengrenze in diesem Bereich aus den MC-Daten zu bestimmen, wenden wir folgende Überlegung an: In einem unendlich ausgedehnten System erkennt man die Stelle des Übergangs dadurch, daß die inverse Dielektrizitätskonstante einen Sprung von null auf einen endlichen Wert macht (vgl. Abschnitt 7.3). Da wir allerdings unsere MC-Simulation auf einem endlichen Gitter (L = 32) durchführen, kann man den Sprung durch unsere Daten nicht lokalisieren, da bei endlichen Systemen der Phasenübergang nur verschmiert sichtbar wird. Deshalb kombinieren wir nun die numerischen Daten mit unseren analytischen Ergebnissen: Wir bestimmen den Übergang, indem wir die MC-Kurve mit der Sprungbedingung aus Gleichung (7.36) schneiden. Da unser System endlich ist, existiert eine maximale Skala l max = ln L, die hier relevant ist. Deshalb verwenden wir nicht den Fixpunktwert der Kopplungskonstante K ∞ , sondern den entsprechenden Wert auf der Skala der Systemgröße l max mit L = 32, das heißt, es ist die
ô ( R ú ÿ ÿ ðúû ðúþ " N N ñ O % " m < 5 5 5 5 ` r C 5 8 5 r 5 8 i 9 C 8.2 Ergebnisse der MC-Simulation 69 ¥¨ ÷ùø õ'ö òLó ¡ ðú ðú îNï[ð ¥¨ ¢¤£¦¥¨§ ¥© ¥¨ ¥¨ ¥¨ © ¥¨ © ¥¨ ¥¨ ðúþbü ðúþ ðúý ðúû ðúýü ðúûbü D E +, @BA )* ¨- 1 =?> D F &' :; D G ¨! "$# ¨- # 3¤4¦506 78 ¦ D H 10/ ¨- 1 ¨- 2/ ¨- .0/ ¨- . ¨- D F D E D E CD C 58 CD rs t ` s v K¨W [ ST no ` s c UV pq PQ jlk ` s f K¨W \ ^_¦`ä bc¨de`ä fg¨de`ä chf I¤J¦K¨L M¨N ` s t rs ` u t rs rYu rs r rs K¨W ] K¨W Z K¨W ZX NYX NW N NW KX NW ` s g u Abbildung 8.3: Für verschiedene Unordnungsstärken sind die MC-Ergebnisse für den [ɛ −1 0 ] d-K-Zusammenhang zusammen mit der entsprechenden Sprungbedingung (gestrichelte Linie) aufgetragen. folgende Gleichung als Sprungbedingung in Abb. 8.3 graphisch dargestellt: [ ɛ −1 0 ]d (K c) = K (l max) . (8.4) K c Den Wert für K(l max ) erhalten wir aus der numerischen Integration der RG- Gleichungen (5.11-5.13) aus Näherung II. Die kritische Kopplungskonstante finden wir aus dem Schnittpunkt dieser Linie mit unseren MC-Daten. Durch die statistischen Fehler erhalten wir ein minimales und maximales K c , woraus wir entsprechend T = 1/K ein minimales und maximales T c erhalten. Dadurch haben wir Intervalle bestimmt, in denen die Übergangstemperaturen liegen sollten. Diese sind zusammen mit den analytisch berechneten Werten in der folgenden
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Institut für Physik Universität A
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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 5 1
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Kapitel 1 Einleitung In dieser Arbe
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1.2 Unordnung in der statistischen
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1.4 Aufbau dieser Arbeit 9 das Mode
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Kapitel 2 Vorbereitende Überlegung
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2.1 Die Villain-Näherung 13 j a m
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2.1 Die Villain-Näherung 15 a = b
Seite 17 und 18: 2.2 Der Grundzustand des Coulombgas
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Seite 31 und 32: Kapitel 4 Der Replika-Limes n → 0
Seite 33 und 34: 4.1 Die Eintyp-Näherung 33 Unter d
Seite 35 und 36: £ © 4.2 Berücksichtigung aller
Seite 37 und 38: 4.2 Berücksichtigung aller Ladungs
Seite 39 und 40: 5.1 Herleitung der vereinfachten RG
Seite 41 und 42: 6 M M 5.2 Eigenschaften des RG-Flus
Seite 43 und 44: 5.2 Eigenschaften des RG-Flusses 43
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Seite 47 und 48: † † |[ƒ]||B|„ |[ƒ]||B|5…
Seite 49 und 50: ž ž 6.2 Numerische Untersuchung d
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Seite 53 und 54: Kapitel 7 Das kritische Verhalten e
Seite 55 und 56: 7.1 Divergenz der Korrelationsläng
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Seite 61 und 62: 7.4 Kritische Exponenten im 2D XY-M
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Seite 77 und 78: C Berechnung von (3.26-3.28) 77 C B
Seite 79 und 80: D Die Integrale aus den Gleichungen
Seite 81 und 82: D Die Integrale aus den Gleichungen
Seite 83 und 84: Literaturverzeichnis [1] S. Scheidl
Seite 85: LITERATURVERZEICHNIS 85 [34] I.N. B
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