Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

60 7 Das kritische Verhalten einiger Größen
Mit (7.23) erhält man die unordnungsgemittelte Dielektrizitätsfunktion:
[
ɛ
−1 ] d
(k) = 1 −
4π2
T k 2 C con (k) . (7.30)
Für kritische Phänomene ist das Verhalten auf großen Längenskalen von entscheidender
Bedeutung. Deshalb wird nun [ɛ −1 ] d (k → 0) = [ɛ −1
0 ] d behandelt. Wie
vorher schon diskutiert, ist besonders das Verhalten am Übergang interessant,
also wenn T = T c gilt.
Der Grenzübergang k → 0 ist einfach durchzuführen, wenn man die Fouriertransformation
von C con (k) explizit ausschreibt:
{ ∫
}
[
ɛ
−1
0
]d = 1 − 4π2 1
lim d 2 r e −ikr C
T c k→0 k 2 con (r) =
= 1 − 4π2
T c
{ ∫ 1
lim
k→0 k 2
¢
2
¢
2
d 2 r
(1 − ikr − 1 )
}
2 (kr)2 C con (r) + O (k) .
(7.31)
Die ersten beiden Summanden tragen wegen der Ladungsneutralität bzw. der Isotropie
der gemittelten Korrelationsfunktionen nicht zum Integral bei; die Summanden
von linearer bzw. höherer Ordnung in k verschwinden ebenfalls, und es
bleibt der folgende Term übrig: 2
[
ɛ
−1
0
]d = 1 + 4π3
T c
∫∞
a 0
dr r3
2 C con (r) . (7.32)
Nun multiplizieren wir diese Gleichung mit 1/T c und setzten den Ausdruck (7.19)
ein. Wenn wir zusätzlich im Integral die Variablentransformation l = ln(r/a 0 )
durchführen, erhalten wir die folgende Form:
[ ]
ɛ
−1
0 d
T c
= 1 T c
− 4π3
T 2 c
∫ ∞
0
dl Ycon 2 (l) . (7.33)
Wir betrachten jetzt die RG-Gleichung (4.28) für die inverse Kopplungskonstante
und integrieren sie formal auf. Dies geschieht für eine RG-Trajektorie auf der
kritischen Fläche; deshalb dient als Anfangswert K0 −1 = 1/T c (J 0 = 0!). Man
erhält dann:
∫∞
∞ = T c + 4π 3 dl Ycon 2 (l). (7.34)
K −1
0
2 Dabei muß ein ”
cut-off“ eingeführt werden, um die ursprüngliche Gitterstruktur des Problems
zu berücksichtigen.