Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

3.3 Umformulierung der RG-Gleichungen 27
gegeben. Durch Umordnen der Zustandssumme (3.1) wird deutlich, daß dieser
Prozeß die Kopplungsmatrix K renormiert:
K → K − da
a 4π3 1 2
∑
ν
Als Differentialgleichung stellt sich dies wie folgt dar:
a dK
da = −4π3 1 2
∑
ν
R ν Y 2
ν . (3.18)
R ν Y 2
ν . (3.19)
Der erste Summand aus Gleichung (3.16) renormiert zusätzlich die Zustandssumme
um einen globalen Faktor:
∏
{
[Z n ] d
→ [Z n ] d
exp π da }
A
a a Y 2
2 ν = [Z n ] d
+ [Z n ] d
π A da ∑
Y
a 2 ν 2
a
. (3.20)
ν
Deshalb erhält man eine Renormierung der freien Energiedichte pro Replikaebene
f = Fa 2 /nA:
a df
da = −π 1 n
∑
ν
Y 2
ν . (3.21)
Die Renormierung der gesamten freien Energiedichte ist durch
( a0
) 2
f g (K 0 , σ 0 , Y 0 ) = fg (K(a), σ(a), Y (a)) + f(a) (3.22)
a
gegeben. Offensichtlich gilt dabei f 0 = 0.
Der erste Summand aus Gleichung (3.22) kommt durch die Vergrößerung der
Längenskala zustande und ist der Beitrag zur freien Energiedichte, den die renormierten
Freiheitsgrade liefern. f(a) ist dagegen der Anteil, den Paare, deren
Ausdehnung kleiner als a ist, beitragen. Diese Überlegung wird später bei der Berechnung
der Entropiedichte (siehe Abschnitt 6.1) von entscheidender Bedeutung
sein.
3.3 Umformulierung der RG-Gleichungen
Grundsätzlich ist der RG-Fluß durch die Differentialgleichungen (3.9) und (3.19)
vollständig gegeben. Die zweite Gleichung für die Matrix K kann allerdings auf lediglich
zwei Differentialgleichungen für die relevanten Parameter K und σ zurückgeführt
werden. Dazu müssen wir die Matrix R = 1/2 ∑ ν Y ν 2R
ν genauer untersuchen:
R αβ = 1 2
∑ ∑
ν
γ,δ
Y 2
ν qγ ν qδ ν Kαγ K βδ . (3.23)
ν