Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

D Die Integrale aus den Gleichungen (4.22-4.24) 79
Nach der Transformation A ′ = A∓(2Ê)1/2 ν erhält man die folgenden Ausdrücke:
[ ( √2Êν ) ( √ )]
I ν
< = Φ α − − Φ −ν 2Ê , (9.19)
e−2Eν+2Êν2
[ ( √2Êν )]
= 1 − Φ α + . (9.20)
e2Eν+2Êν2
I > ν
Dabei ist Φ(x) = 2π ∫ −1/2 x
0 dx′ e −x′2 die Fehlerfunktion; für große Werte x gilt
folgende asymptotische Abschätzung:
Φ (x) ≈
{
1 −
1
√ πx
e −x2 für x ≫ 1
−1 − 1 √ πx
e −x2 für x ≪ 1 . (9.21)
Da α ∝ l, und der Limes großer l betrachtet wird, wendet man diese Näherung
an. Wenn sgn(x) als Signumsfunktion das Vorzeichen von x angibt, erhält man:
[ ( √ ) ]
≈ sgn α − ν 2Ê + 1
(9.22)
e−2Eν+2Êν2
I < ν
) − e −ν2E √π2Êν 1
,
2Êν
( √ )]
I ν
[1 > = 2Ê−ν2E − sgn α − ν 2Ê
eν2
− e 1
−α2 √ ( √
π α −
+ e 1
−α2 √ ( √2Êν ). (9.23)
π α +
In asymptotischer Näherung (l → ∞) werden in der Summe jeweils nur die
Summanden berücksichtigt, die am langsamsten mit wachsendem l verschwinden,
der Rest wird vernachlässigt.
Es muß dann beachtet werden, daß (α − ν(2Ê)1/2 ) sein Vorzeichen ändern kann,
und abhängig davon verschiedene Terme für l ≫ 1 relevant sind. Um dies zu
untersuchen, bietet sich der Term τ = E/2Ê = α/(2Ê)1/2 = 1/2σK an: Für
τ > 1 zerfällt der Ausdruck 2e −2E+2Ê am langsamsten; dieser Term tritt nur in
I 1
< auf:
I ≈ 2e −2E+2Ê. (9.24)
Für τ < 1 ist e −α2 der entscheidende Term, der in allen I “ν vorkommt. Dann muß
der folgende Ausdruck ausgewertet werden:
[ ∞
1 1
I ≈ √ e −α2
2πÊ τ + ∑
( 1
(−1) ν τ + ν + 1 ) ]
=
τ − ν
ν=1
= √
π [ 1
e −α2
2πÊ πτ + 2τ ∞∑ (−1) ν ]
= ← siehe [38], 1.422.3 (9.25)
π τ 2 − ν 2
= √
π
2πÊ
1
sin πτ e−α2 .
ν=1