Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

4.1 Die Eintyp-Näherung 33
Unter dieser Voraussetzung kann man die Fugazitäten einfacher ausdrücken:
Y 2 = 1 2 lim
∑
( )
′
n − 1
(qν α ) 2 Yν
2 = lim Ym 2 n→0
n→0 m
ν
0 − 1 0
, (4.6)
Ydis 2 = 1 2 lim
∑
( )
′
n − 2
qν α n→0
qβ≠α ν Yν
2 = lim Ym 2 n→0 m 0 − 2 0
, (4.7)
Ycon 2 = Y 2 − Ydis 2 = lim
lim
n→0
lim
n→0
Y 2
con
Y 2
Y 2
dis
Y 2
ν
= lim
n→0
= lim
n→0
n→0
( n−2
m 0 −1)
Y
2
m0
(
n−1
m 0 −1
( n−2
m 0 −2)
Y
2
m0
(
n−1
m 0 −1
( n − 2
m 0 − 1
)
Ym 2 0
, (4.8)
)
Y
2 m0
= m 0 , (4.9)
)
Y
2 m0
= 1 − m 0 . (4.10)
Die Summen ∑ ′
ν
. . . sind dabei nur über die Vektorladungstypen zu nehmen, für
die m 0,ν = m 1,ν = m 0 gilt. Da Yν 2 = Ym 2 2
0
= exp{4l − 2m 0 E + 2m0Ê} dann unabhängig
von ν ist, ergeben die Summen die angegebenen Binomialkoeffizienten.
Man erhält sofort die RG-Gleichungen:
dK
= −4π 3 n − m 0
dl n − 1 K2 Y 2 n→0
−→ −4π 3 m 0 K 2 Y 2 , (4.11)
dσ
dl = m 4π3 0 − 1
n − 1 Y 2 n→0
−→ 4π 3 (1 − m 0 ) Y 2 , (4.12)
dY 2
= ( 4 − 2π ( m 0 K − m 2 0
dl
σK2)) Y 2 . (4.13)
Offen bleibt bei diesen Gleichungen lediglich, welcher Wert für m 0 = m 0 (K, σ)
einzusetzen ist. Dabei stellt sich die Frage, in welchem Bereich m 0 nach dem
Replika-Limes überhaupt liegen muß, da die triviale Vermutung n → 0 ⇒ m 0 → 0
kein physikalisches Ergebnis liefert. Deshalb verallgemeinern wir die Bedingung
(n − m 0 )(m 0 − 1) ≥ 0, die für m 0 , n ∈ N mit 0 < m 0 ≤ n identisch ist, für n → 0
(m 0 , n ∈ R!) und erhalten damit den erlaubten Bereich für m 0 :
(n − m 0 ) (m 0 − 1) ≥ 0 n→0
−→ 0 ≤ m 0 ≤ 1. (4.14)
Also gilt im Replika-Limes m 0 ∈ [0, 1].
Als Test wird der bekannte Fall σ = 0 untersucht. Wenn man nun, wie in Abschnitt
3.3, m 0 so bestimmt, daß (4−2π(m 0 K−m 2 0σK 2 )) = (4−2πm 0 K) maximal
ist, dann erhält man den unphysikalischen Wert m 0 = 0. Richtig ist aber der Wert
m 0 = 1, der hier den minimalen Wert liefert.
Im folgenden soll das m 0 deshalb so berechnet werden, daß es den minimalen
Wert von (4 − 2π(m 0 K − m 2 0 σK2 )) liefert. 2 Dazu betrachtet man diesen Term als
2 Eine ähnliche Problematik kennt man aus dem Bereich der Replika-Symmetrie-
Brechung [32], wenn statt des Minimums der freien Energie das Maximum bestimmt werden
muß.