Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

Kapitel 3
Kosterlitz-Renormierung des
replizierten Systems
Da es sich bei unserem Problem (2.34-2.36) aus dem vorigen Kapitel um eine Verallgemeinerung
des CG-Problems ohne Unordnung handelt, wird in diesem Kapitel
versucht, ein ähnliches Lösungskonzept anzuwenden, wie es von Kosterlitz [6]
vorgeschlagen wurde. Es werden also RG-Gleichungen hergeleitet, und damit wird
der Phasenübergang untersucht; dies geschieht, wie bei der herkömmlichen Rechnung
auch, lediglich in der Näherung geringer Teilchendichten. In diesem Kapitel
wird der Fall n > 0 behandelt, also ein System von n gleichen CG-Ebenen, wobei
alle Ebenen untereinander gleich stark gekoppelt sind. In Kapitel 4 wird der
Replika-Limes n → 0 untersucht; dort wird versucht, die hier gewonnenen Ergebnisse
geeignet zu verallgemeinern.
Das Problem ist durch die Zustandssumme (2.34) mit der Nebenbedingung (2.36)
gegeben. Für die Behandlung durch die RG-Methode ist es bequem, zu einer Kontinuumsdarstellung
überzugehen, wobei beachtet werden muß, daß der Abstand
zweier Vektorladungen nicht kleiner als der Gitterabstand a 0 sein darf. Dies führt
dazu, daß nicht alle Teilchenpositionen unabängig voneinander über den gesamten
Raum R 2 integriert werden dürfen. In dieser Darstellung summiert man dann
nicht mehr über Gitterplätze, sondern über alle vorhandenen Replika-Ladungen,
wobei die Neutralitätsbedingung (2.36) erfüllt sein muß (vgl. δ
ν nνqν,0 ):
[ZCG n ] d = ∑ ∫
1
∏
{n ν} ν (n ν!)
( ∏
ν
Y nν
ν
)
exp
∫
. . .
∏ ∏n ν
|x ν ν i=1
i −xµ j |>a 0
d 2 x ν i
a 2 0
{ n
1 ∑ ∑ µ
∑n ν
2πq µ Kq ν ln
2
µ,ν i=1 j=1
(µ,i)≠(ν,j)
δ
ν nνqν,0 ×
∣ x
µ
∣}
.
a 0
i − xν j
(3.1)
Die Indizes ν, µ numerieren die verschiedenen Typen von Vektorladungen, die
dadurch bestimmt sind, an welchen Stellen des Vektors welche Einträge stehen;