Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

Anhang
A Herleitung von Gleichung (2.22)
In Abschnitt 2.2 wurde der Ausdruck (2.22) verwendet, der nun berechnet wird,
wobei hier die Abkürzung Ĝij = −4π 2 σK 2 G ij eingeführt wird. Zuerst wird die
Darstellung der δ-Funktion verwendet:
δ(U i − U j − v) =
∫ ∞
−∞
dλ
2π exp { iλ (U i − U j − v) } . (9.1)
Dadurch erhält man für den Term in (2.22) die Form, in der man die Integration
über die U i ausführen kann:
∫ ∞
−∞
=
dλ
2π exp { − iλv }√ | det G −1 | ∏
∏
k 8π3 σK 2 k
{
exp − 1 ∑
2
∫ ∞
−∞
k,l
dλ
2π exp { − iλv } exp
U k Ĝ −1
kl U l + iλ ∑ k
{
− 1 ∑ 2 λ2 k,l
( ∫∞
−∞
dU k
)×
}
U k (δ ki − δ kj ) =
}
(δ ki − δ kj ) Ĝkl (δ li − δ lj ) .
(9.2)
Mit der Relation Ĝii = 0 (vgl. (2.16)) gilt:
∑
(δ ki − δ kj ) Ĝkl (δ li − δ lj ) = −2Ĝij. (9.3)
k,l
Damit kann das obige Gauß-Integral auf folgende Form gebracht werden:
{ }
1
P [(U i − U j ) = v] = √ exp −
v2
. (9.4)
−2Ĝij
−4πĜij
Wenn man nun Ĝij einsetzt, so erhält man den Integranden von (2.23).