Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

80 Anhang
Wenn man die explizite l-Abhängigkeit einsetzt, erhält man als Ergebnis:
{
2e
−2πK(1−σK)l
für τ > 1
I ≈ √
2σ πτ
e π
π 2 2σ l für τ < 1 . (9.26)
l sin πτ
Als nächstes wird das Integral aus Gleichung (4.23) I dis = 2e −4l Y 2
dis untersucht:
I dis = 1 π
∫ ∞
−∞
( ) 2 z+ − z −
dA
≈ 2 1 + z + + z − π
∫ ∞
0
( ) 2 z+
dA
. (9.27)
1 + z +
Zur Berechnung schreibt man z − aus Gleichung (4.21) folgendermaßen um:
z − = ỹ˜z − , (9.28)
wobei ỹ = exp(−2E) und ˜z − = 2A(2Ê)1/2 . Dann verwendet man die folgende
Identität:
( ) 2 z+
= −ỹ 2 ∂ ( )
ỹ −1 z +
. (9.29)
1 + z + ∂ỹ 1 + z +
Da ỹ unabhängig von A ist, läßt sich das gesuchte Integral einfach berechnen:
I dis ≈ −ỹ 2 ∂ ∂ỹ
(ỹ−1 I ) = −ỹ 2 ∂E
∂ỹ
∂ (ỹ−1 I ) = 1 ∂ (ỹ−1 I ) . (9.30)
∂E 2ỹ ∂E
Für τ > 1 erkennt man, daß es nicht ausreicht, den führenden Term aus Gleichung
(9.24) zu verwenden, da man sonst als Ergebnis null erhält; dies ist nicht
möglich, da sonst I dis selbst identisch null wäre. Das heißt, man muß zur Berechnung
von I dis auch noch den nächsten Term in I berücksichtigen. Im Bereich
τ > 2 trägt (−2 exp{−4E + 8Ê}) in nächster Ordnung bei (vgl. I < 2 in Gl. (9.17)):
∂
(
)
2ỹ −1 e −4E+8Ê = ∂ ( )
2e −2E+8Ê = −4e −2E+8Ê. (9.31)
∂E
∂E
Insgesamt erhält man dann für τ > 2:
I dis ≈ 2e −4E+8Ê. (9.32)
Für τ < 2 sind die einzigen Terme, die nach der Ableitung erhalten bleiben, durch
den Faktor exp(−α 2 ), dessen Beitrag schon in Gleichung (9.25) berechnet wurde:
(
)
∂ −E2 /2Ê+2E π 1
e √
=
∂E
2πÊ sin πE/2Ê
[ (
= e −E2 /2Ê+2E π 1
√
2 1 − E )
] (9.33)
π cos πE/2Ê
− .
2πÊ sin πE/2Ê 2Ê 2Ê sin πE/2Ê