Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

2.2 Der Grundzustand des Coulombgases mit externen Dipolen 17
Nun ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung für {U i } bestimmt, allerdings benötigt
man die Verteilung für die Potentialdifferenz (U i − U j ), wobei alle anderen U k
keine Rolle spielen (siehe Anhang A):
√
∫
| det G
P [(U i − U j ) = v] =
−1 ∞ (
| ∏
∏
dU
k 8π3 σK 2
k
)×
−∞
k
{
exp − 1 ∑
(
)
(2.22)
1
U k
2 −4π 2 σK 2 G− kl 1 U l
}δ (U i − U j − v) .
k,l
Dann ist die Wahrscheinlichkeit P (r/a 0 ), daß das Unordnungspotential die Wechselwirkungsenergie
eines Paares der Größe r kompensiert, also (U i − U j + V ij ) < 0
gilt, durch folgenden Ausdruck gegeben:
P (r) =
−V
∫
(r)
−∞
dU
√
8π2 σK 2 G ij
exp
{
}
U 2
−
. (2.23)
16π 2 σK 2 G ij
Für r ≫ 1 gilt die Näherung G ij = G(r) ≈ 1/2π ln(r/a 0 ), und da dann nur der
äußerste Teil der Verteilung beiträgt, erhält man für die gesuchte Korrelationsfunktion
P (r):
√ ( ) −π/2σ
σ r
P (r) ≈
. (2.24)
2π 2 ln r/a 0 a 0
Im Grundzustand existieren also nicht nur Ladungspaare auf der Skala des Gitterabstands,
sondern die Wahrscheinlichkeit für große Paare, die das kritische
Verhalten maßgeblich bestimmen, ist ungleich null. Nun kann man die Frage beantworten,
ob diese Paare schon die BKT-Phase zerstören. Dazu muß man sich
an die Ergebnisse ohne Unordnung erinnern; für geringe Paardichten kann dort
die Korrelationsfunktion näherungsweise für r ≫ 1 angeben werden:
C (r) ∝
( r
a 0
) −2πK
. (2.25)
Die Polarisierbarkeit eines Paares zeigt in führender Ordnung folgendes Verhalten,
wobei aufgrund der ursprünglichen Gitterstruktur ein ”
cut-off“ für kleine r
eingeführt wird (R 2 → ˜R 2 ):
∫
χ E ∝
¢
˜ 2
C (r)
( r
a 0
) 2
. (2.26)
Im reinen System divergiert diese Größe für K ≤ 2/π (⇔ 2πK ≤ 4), dadurch
wird der metallische Bereich des Phasendiagramms beschränkt. K = 2/π ist also