Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

3.1 Reskalierung des Gitterabstands 23
zwei Schritten: Zum einen wird die Zustandssumme statt durch den minimalen
Abstand a durch a + da ausgedrückt und danach reskaliert a + da → a; dies führt
zu einer Verdichtung des Systems. Zum anderen werden alle Paare ausintegriert,
die sich im Abstand zwischen a und a + da befinden, das heißt, kleine Paare
verschwinden aus der Zustandssumme, was zu einer Ausdünnung führt. Danach
wird die neue Zustandssumme durch Umdefinition der Systemparameter auf die
gleiche funktionale Form gebracht wie vor dem Renormierungsschritt: Diese Prozedur
liefert Differentialgleichungen für den RG-Fluß der Systemparameter. Das
Verhalten dieses RG-Flusses in der Nähe von Fixpunkten bestimmt das physikalische
Verhalten auf großen Längenskalen, also insbesondere das kritische Verhalten.
Dies wird zum Beispiel in Abschnitt 7.1 am Beispiel der Korrelationslänge
illustriert.
3.1 Reskalierung des Gitterabstands
In der Reskalierungsprozedur werden wir alle a’s in der Zustandssumme durch
a + da ausdrücken und dann diesen Abstand wieder a nennen. Damit die Zustandssumme
unter dieser Operation invariant bleibt, müssen die Parameter des
Systems verändert werden.
Die Größe a kommt in der Zustandssumme (3.1) in zwei Formen vor:
1.
(
1
a → 1
2 (a + da) 2 1 + 2 da )
a
⇒ ∏ ∏n ν
(
1 ∏
a → ∏n ν
)(
1 ∏ 2 (a + da) 2 ν
ν
ν
i=1
i=1
(
1 + 2 da ) nν
)
.
a
(3.5)
2. ln 1 a → ln 1
a + da
⇒ 1 n
∑ ∑ µ
∑n ν
2
= 1 2
µ,ν i=1 j=1
(µ,i)≠(ν,j)
n
∑ ∑ µ
∑n ν
µ,ν
i=1
j=1
(
1 + da )
a
2π da
a q µKq ν =
2π da
a q µKq ν
} {{ }
=0, wegen (2.36)
− 1 2
∑ ∑n ν
ν
i=1
2π da
a q νKq ν .
(3.6)