Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

82 Anhang
E Positive Entropie für τ > 1
In diesem Abschnitt wird gezeigt, daß für τ > 1 die beiden Ableitungen ∂ T Y 2
und ∂ T K nach dem Anfangswert T = K0 −1 auf allen Skalen l größer bzw. kleiner
als null sind. Vorausgesetzt wird dabei wie in Abschnitt 6.1, daß ∂ T Y0 2 ≥ 0 gilt.
Dazu betrachtet man die Ableitung ∂ T K −1 und zeigt, daß diese positiv ist. Die
Ableitung ∂ T K0 −1 = 1 ist natürlich auch positiv. Außerdem reicht es wegen
der strengen Monotonie des Logarithmus wie in Abschnitt 6.1 aus, die Größe
∂ T (ln Y 2 ) zu betrachten.
Man betrachtet zuerst die Steigung der zu untersuchenden Größen bezüglich der
Renormierungsskala l für τ > 1:
d
dl ∂ (
T K −1 = 4π 3 ∂ T Y 2 = 4π 3 Y 2 ∂ ) T ln Y
2
, (9.36)
d
dl ∂ ( )
T ln Y
2
= −2π (1 − 2σK) ∂ T K = 2πK 2 (1 − 2σK) ∂ T K −1 . (9.37)
Dadurch ist sichergestellt, daß die beiden Ableitungen ∂ T K −1 und ∂ T (ln Y 2 ) für
alle l im Bereich τ > 1 positiv sind. Dies wird nun rigoros gezeigt, indem man
einen Widerspruchsbeweis anwendet.
Dazu nimmt man an, daß eine der beiden Größen auf einer Skala l 0 negativ wird,
für die gilt:
l 0 = min { l > 0 ∣ ∣ ∂T
(
ln Y
2 ) = 0 ∨ ∂ T K −1 = 0 } . (9.38)
Wegen der stetigen Abhängigkeit der zu untersuchenden Größen von l ist sichergestellt,
daß l 0 > 0 gilt, da ∂ T K −1 (0) > 0 gilt. Dies führt sofort dazu, daß auch
∂ T (ln Y 2 ) in einem endlichen Bereich mit l > 0 auf positive Werte steigt, da
∂ T (ln Y 2 )(0) ≥ 0 gilt. Somit gilt für alle 0 < l < l 0 , daß beide Größen positiv
sind. Für die Werte der beiden zu untersuchenden Größen bei l = l 0 erhält man
also:
∣ ∫l 0
∂ T K −1 ∣∣∣l=l0
= 4π 3
(
∂ ) ∣ ∫ l 0
T ln Y
2 ∣∣l=l0 = 2π
0
(
dl ′ Y 2 ∂ )
T ln Y
2
+ ∂ T K −1 (0)
} {{ } } {{ }
>0 für 0 0.
} {{ }
>0 für 0≤l 1 gezeigt, daß für alle l > 0 ∂ T K < 0 und ∂ T Y 2 > 0 gilt, wenn
∂ T K 0 < 0 und ∂ T Y0 2 ≥ 0 vorausgesetzt wird.