Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

7.3 Die Dielektrizitätskonstante 59
die negativen auf die Potentialberge. Dadurch wird das externe Potential auf
großen Längenskalen ideal abgeschirmt, das heißt, in der metallischen Phase ist
zu erwarten, daß
V sc (k → 0) = 0, und folglich (7.24)
ɛ(k → 0) → ∞ (7.25)
gilt. In der BKT-Phase ist die Situation dadurch anders, daß sich nicht einzelne
Ladungen frei bewegen können, sondern nur Dipole, die durch ein äußeres Feld
lediglich ausgerichtet werden. Deshalb ist nur eine geringe Abschirmung zu erwarten
und man erhält eine endliche Dielektrizitätsfunktion. Im folgenden wird
dies quantitativ behandelt.
Durch ein infinitesimales externes Potential V ext (r) wird gemäß der Linearen-
Antwort-Theorie folgende Ladungsdichte 〈ρ ind (r)〉 induziert:
〈ρ ind (r)〉 = − 1 ∫
d 2 r ′ V ext (r ′ )
T
˜C (r, r ′ )
(7.26)
mit ˜C (r, r ′ ) = 〈ρ (r) ρ (r ′ )〉 − 〈ρ (r)〉 〈ρ (r ′ )〉 .
¢
2
Da man im weiteren nur an den über die Unordnung gemittelten Größen interessiert
ist, betrachtet man die gemittelte Korrelationsfunktion [ ˜C(r, r ′ )] d =
C con (r − r ′ ) (siehe (7.19)), die nun nur vom Abstand (r − r ′ ) abhängt und man
erhält ein Faltungsintegral:
[〈ρ ind (r)〉] d
= − 1 ∫
d 2 r ′ V ext (r ′ ) C con (r − r ′ )
T
⇐⇒
¢
2
(7.27)
[〈ρ ind (k)〉] d
= − 1 T V ext (k) C con (k) .
Die k-abhängigen Größen sind dabei die entsprechenden Fourier-Transformierten;
die Fourier-Transformation einer beliebigen Funktion h(r) ist folgendermaßen
definiert:
∫
h (k) = d 2 r e −ikr h (r) . (7.28)
Den Ausdruck für [〈ρ ind (k)〉] kann man in die fouriertransformierte Poissongleichung
einsetzen, in der Potential und Ladungsdichte verknüpft sind; da man hier
die gemittelten Ausdrücke betrachtet, muß beachtet werden, daß lediglich V sc (k)
von der Unordnung abhängt, V ext (k) als von außen angelegtes Potential unordnungsunabhängig
ist: 1
¢
2
[V sc (k) − V ext (k)] d
= 4π2
k [〈ρ ind(k)〉] 2
d
= − 4π2
T k V 2 ext (k) C con (k) . (7.29)
1 Wegen der Darstellung von Z in (3.1) und T = 1/K 0 werden die Potentiale mit einem
zusätzlichen Faktor 2π definiert, was zu einem 4π 2 in der Poissongleichung führt.