Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

7.1 Divergenz der Korrelationslänge am BKT-Übergang 55
für τ > 1 (σ = σ 0 !) dort entwickelt, und wir erhalten:
Y 2 = Ymin 2 + λ ( δK −1)2 . (7.1)
Dabei ist λ > 0 die Krümmung der Trajektorie bei (Kp −1 , σ p ), und δK −1 =
(K −1 − Kp
−1 ) ein kleiner Parameter. Der Wert λ hängt nur von K−1 p und σ p
ab. Ebenso läßt sich die RG-Gleichung für die Fugazität (5.11) um (Kp −1,
σ p)
linearisieren, und mit σ = σ p erhält man:
dY
dl
= [2 − πK (1 − σ p K)] Y ≈ π (1 − 2σ p K p ) Kp
2 Y δK −1 . (7.2)
} {{ }
γ>0
Die Größe γ ist dabei wie λ eine nicht-universelle Konstante. Wenn wir nun die
Gleichung (7.1) in die linearisierte RG-Gleichung (7.2) einsetzen, so erhalten wir:
dY
dl
= ±κY
√
Y 2 − Y 2 min , (7.3)
wobei alle nicht-universellen Vorfaktoren in κ zusammengefaßt sind. Das Vorzeichen
der Wurzel ist gleich dem Vorzeichen der Größe δK −1 . Dies wird in der
folgenden Integration der Differentialgleichung deutlicher:
Y∫
min
∫Y ref
dY
lκ =
−Y √ dY
+
Y 2 − Ymin
2 Y √ =
Y 2 − Ymin
2 Y 0
Y min
= 1 [ ( ) ( )
]
Y0
Yref
arcsec + arcsec − 2arcsec (1) .
Y min Y min Y min
(7.4)
Da nur Trajektorien, die nahe der kritischen Fläche starten, betrachtet werden,
gilt Y min ≪ Y 0 , Y ref , und man erhält mit arcsec(∞) = π/2 bzw. arcsec(1) = 0 das
folgende einfache Ergebnis:
l = πκ−1
Y min
. (7.5)
Wir werden nun das Verhalten der Länge ξ 0 in Abhängigkeit von Y min untersuchen.
Das Renormierungsverhalten von ξ ist wie für alle Längen durch den
folgenden Ausdruck gegeben:
ξ(l) = ξ 0 e −l . (7.6)
Wird l so bestimmt, daß ξ (l) = ξ ref gilt, so erhält man für die unrenormierte
Länge den Ausdruck:
ξ 0 = ξ ref e πκ−1 /Y min
. (7.7)