Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

62 7 Das kritische Verhalten einiger Größen
in den Winkelfreiheitsgraden nicht berücksichtigen muß, und wir bei schwacher
Unordnung (A ij klein) den Cosinus in der Hamiltonfunktion (1.2) entwickeln
können: 4
H XY [{Θ i } , {A ij }] ≈ ∑ 〈ij〉
1
2 K(Θ i − Θ j − A ij ) 2 . (7.39)
Für die unordnungsgemittelte Korrelationsfunktion (7.38) ist der folgende Ausdruck
zu berechnen:
[∑{Θ
[〈s k · s l 〉] d
= Re
i } ei(Θ k−Θ l ) e −H[{Θ i},{A ij }] ]
∑
{Θ i } e−H[{Θ i},{A ij
. (7.40)
}]
d
Da die Summe über die thermischen Freiheitsgrade hier gaußisch ist, kann man
sie ohne Mühe ausführen und erhält die folgenden Terme für Zähler und Nenner:
∑ {
}
exp i (Θ k − Θ l ) − H [{Θ i } , {A ij }] = (7.41)
{Θ i }
{
= N exp − 1 ∑ (
− iK ∑ )
A i,i+µ + δ ki − δ li (−G ij ) ×
2K
i,j
µ
(
− iK ∑ A j,j+µ + δ kj − δ lj
)},
µ
∑ {
}
exp − H [{Θ i } , {A ij }] = (7.42)
{Θ i }
{
= N exp
− 1
2K
∑ (
− iK ∑
i,j
µ
) (
A i,i+µ (−G ij ) − iK ∑ µ
A j,j+µ
)}.
Dabei ist der Vorfaktor N wie folgt gegeben: 5
N = ∑ { 1
exp
2 K ∑ }
Θ i G −1
ij Θ j . (7.43)
{Θ i } i,j
Die Auswertung der Kronecker-δ’s in (7.41) führt zu folgendem Ausdruck (G ii =
0, G ij = G ji !):
{
[〈s k · s l 〉] d
= exp − 1 }[ {
K G kl exp −i ∑ ( ∑ )}]
(G ik − G il ) A i,i+µ . (7.44)
d
i
µ
Es ist nun geschickter, das Mittel nicht über die ursprünglichen Unordnungsvariablen
{A ij } auszuführen, sondern über die kombinierte Größe { ∑ µ A i,i+µ}. Dabei
4 Dies bezeichnet man häufig als Spinwellennäherung.
5 Zur Erinnerung: µ repräsentiert einen Verschiebungsvektor auf einen Nachbarplatz; −G ij
ist die Gitter-Greensfunktion, wie sie in Abschnitt 2.1 durch Gleichung (2.15) definiert wurde
(−G ij ↔ ˜G ij !).