Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

1.4 Aufbau dieser Arbeit 9
das Modell anhand einer Kosterlitz-Renormierungsprozedur genauer. Zur Behandlung
der Unordnung führt Tang eine direkte Unordnungsmittelung im unreplizierten
System durch. Dabei muß er gegenüber Scheidl, der den Replikatrick
verwendet, zusätzliche Näherungen anwenden, auf die wir hier nicht näher eingehen.
Im weiteren werden wir uns eingehend und kritisch mit der Arbeit Scheidls [1] auseinandersetzen;
das heißt, wir werden die Vorgehensweise und Ergebnisse ausführlich
diskutieren und durch eigene Rechnungen ergänzen und korrigieren.
1.4 Aufbau dieser Arbeit
Um es dem Leser zu erleichtern, die einzelnen Kapitel und Abschnitte in den
Gesamtzusammenhang einzuordnen, geben wir zunächst einen kurzen Überblick
über die gesamte Arbeit.
In Kapitel 2 werden wir das XY-Modell durch die Villain-Näherung in eine CG-
Darstellung bringen. Daran anschließend wird der Grundzustand dieses Systems
untersucht. Zum Abschluß des Kapitels replizieren wir das System und mitteln
dann über die Unordnung, um den Replikatrick anzuwenden; als effektives System
erhält man dabei ein 2D CG mit verschiedenen Ladungstypen.
Um später den Replika-Limes auszuführen, wenden wir in Kapitel 3 die Kosterlitz’sche
RG-Methode an, um für das replizierte System Flußgleichungen zu erhalten.
Wir stellen schon hier fest, daß der Übergang in verschiedenen Bereichen
von Temperatur und Unordnungsstärke durch unterschiedliche Ladungstypen getrieben
wird.
Daran anschließend wird in Kapitel 4 der Replika-Limes für diese Flußgleichungen
durchgeführt. Dabei folgen wir den Ideen Scheidls [1] und erhalten schließlich
einen Satz von RG-Gleichungen, die das System mit Unordnung beschreiben sollen
(Näherung I).
Da es nicht möglich ist, diese Differentialgleichungen analytisch zu lösen, wird
in Kapitel 5 eine asymptotische Näherung für den Grenzfall großer Längenskalen
abgeleitet, die schon in [1] vorgeschlagen wurde (Näherung II). Die resultierenden
Gleichungen stimmen in einigen Grenzfällen mit bereits bekannten Ergebnissen
überein, weshalb wir die Gleichungen auch außerhalb ihres eigentlichen Gültigkeitsbereichs
auf endlichen Längenskalen testen. Bei der anschließenden Untersuchung
des RG-Flusses stellt man allerdings reentrance“-Verhalten fest.
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In Kapitel 6 vergleichen wir die Ergebnisse der RG-Gleichungen aus Näherung I
und II. Anhand der Entropie überprüfen wir zuerst den möglichen Gültigkeitsbereich
(positive Entropie) der Gleichungen in Näherung II, wobei wir im Gegensatz
zu Scheidls Aussagen in der BKT-Phase einen Bereich mit negativer Entropie
finden. Daraufhin untersuchen wir die Gleichungen aus Näherung I durch numerische
Verfahren; immerhin können wir nun feststellen, daß die Phasengrenze kein
reentrance“-Verhalten mehr aufweist. Eine eindeutige Entscheidung darüber, ob
”