Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

68 8 Die Monte-Carlo-Simulation
lation erhalten wir die ortsabhängige gemittelte Korrelationsfunktion C con , die
wir dann fouriertransformieren. Da wir den Grenzwert k → 0 nicht durchführen
können, verwenden wir wie von Lee und Teitel [37] vorgeschlagen den Ausdruck
[ ]
ɛ
−1
0 ≈ 1 ([ ]
d ɛ
−1
2
(2πˆx/L) + [ ɛ −1] (2πŷ/L)) , (8.3)
d d
wobei ˆx, ŷ die Einheitsvektoren in x- bzw. y-Richtung repräsentieren; das heißt,
wir mitteln über die kleinsten Wellenvektoren k ≠ 0 in der Brillouin-Zone.
8.2 Ergebnisse der MC-Simulation
Im folgenden werden wir die MC-Ergebnisse dazu verwenden, die Übergangstemperatur
in Abhängigkeit von σ zu bestimmen. Dazu wurde zu verschiedenen Temperaturen
K −1 und Unordnungsstärken die mittlere inverse Dielektrizitätskonstante
[ɛ −1
0 ] d auf einem 32 × 32-Quadratgitter bestimmt. Aufgrund des Rechenzeitaufwands
wurde [ɛ −1
0 ] d nur über fünf Unordnungskonfigurationen gemittelt.
Zu jedem Parameterpaar (K, σ) berechneten wir fünf oder sechs Datenpunkte;
der Mittelwert und die Standardabweichung dieser Werte sind in Abb. 8.3 dargestellt.
Aufgrund der Mittelung über nur wenige Unordnungsrealisierungen ist der
Fehler hauptsächlich durch die Unordnung bestimmt; deutlich wird das dadurch,
daß für steigende σ die Abweichungen wesentlich größer werden als für das reine
System.
Wie wir im letzten Abschnitt bereits festgestellt haben, können wir die Phasengrenze
lediglich im Bereich K < 1.2 untersuchen. Deshalb reichen unsere
Daten nicht aus, um eine Entscheidung über das Vorhandensein von reentrance“-Verhalten
zu treffen, das erst für K > 4/π erwartet werden kann. Wir müssen ”
uns also darauf beschränken zu untersuchen, ob bei gegebener Unordnung im Bereich
K < 1.2 ein Phasenübergang stattfindet, und wo dieser liegt. Dabei prüfen
wir die Konsistenz mit den Ergebissen aus der asymptotischen Näherung, deren
Gültigkeit wir in diesem Gebiet erwarten.
Um die Phasengrenze in diesem Bereich aus den MC-Daten zu bestimmen, wenden
wir folgende Überlegung an: In einem unendlich ausgedehnten System erkennt
man die Stelle des Übergangs dadurch, daß die inverse Dielektrizitätskonstante
einen Sprung von null auf einen endlichen Wert macht (vgl. Abschnitt 7.3).
Da wir allerdings unsere MC-Simulation auf einem endlichen Gitter (L = 32)
durchführen, kann man den Sprung durch unsere Daten nicht lokalisieren, da bei
endlichen Systemen der Phasenübergang nur verschmiert sichtbar wird. Deshalb
kombinieren wir nun die numerischen Daten mit unseren analytischen Ergebnissen:
Wir bestimmen den Übergang, indem wir die MC-Kurve mit der Sprungbedingung
aus Gleichung (7.36) schneiden. Da unser System endlich ist, existiert
eine maximale Skala l max = ln L, die hier relevant ist. Deshalb verwenden wir
nicht den Fixpunktwert der Kopplungskonstante K ∞ , sondern den entsprechenden
Wert auf der Skala der Systemgröße l max mit L = 32, das heißt, es ist die