Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

5.1 Herleitung der vereinfachten RG-Gleichungen (Näherung II) 39
In Anhang D werden die resultierenden Integrale (4.22-4.24) in führender Ordnung
in l berechnet:
Y 2 ≈
Y 2
{
e
−2πK(1−1/2τ)l+4l
für τ > 1
√ σ
2π 2 l
πτ
sin(πτ) e− π
2σ l+4l für τ < 1 , (5.4)
√ σ πτ(1−τ)
2π 2 l sin(πτ) e− π
dis ≈ {
e
−4πK(1−1/τ)l+4l
für τ > 2
Y 2
con ≈
{
e
−2πK(1−1/2τ)l+4l
für τ > 1
√ σ
2π 2 l
2σ l+4l für τ < 2 , (5.5)
πτ 2
sin(πτ) e− π
2σ l+4l für τ < 1 , (5.6)
wobei τ = 1/2Kσ ist. Ebenso kann man in dieser Näherung den RG-Fluß der
freien Energiedichte f aus Gleichung (4.25) bestimmen:
{
df e
−2πK(1−1/2τ)l+4l
dl = −2π für τ > 1
√ σ π
2σ l+4l für τ < 1 . (5.7)
2π 2 l sin(πτ) e− π
Man erkennt sofort, daß diese Gleichungen nur auf großen Längenskalen gelten
können, da die Ausdrücke für l → 0 divergieren; die Ursache ist darin zu sehen,
daß die RG-Gleichungen durch die asymptotische Näherung praktisch ihr
Gedächtnis“ an die Anfangsbedingungen verloren haben.
”
Trotzdem lassen sich daraus einige Größen berechnen, wobei wiederum nur die
führenden Terme auf großen Längenskalen berücksichtigt werden. Die Quotienten
der Fugazitäten können in dieser Näherung leicht berechnet werden:
{
Ycon
2
Y ≈ 1 für τ > 1
2 τ für τ < 1 , (5.8)
{
Ydis
2
Y ≈ 0 für τ > 1
2 (1 − τ) für τ < 1 . (5.9)
Es ist nun auch möglich, eine einfache Form der RG-Gleichungen anzugeben,
indem man die Fugazität Y 2 (5.4) nach l differenziert:
dY 2
dl
{[ ( )]
4 − 2πK 1 −
1
2τ Y
2
für τ > 1
= ( )
4 −
π
2σ Y 2 − 1 Y 2 für τ > 1 . (5.10)
2l