Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

58 7 Das kritische Verhalten einiger Größen
Damit haben wir einen einfachen Zusammenhang zwischen den Korrelationsfunktionen,
die man durch den Replikatrick berechnen kann, und physikalisch
relevanten Funktionen hergestellt. C dis gibt dabei den Unordnungsanteil der Gesamtkorrelationsfunktion
C an, der durch die eingefrorenen Ladungen im System
zustande kommt; im reinen Fall verschwindet C dis somit. Auch unsere Vermutung
aus Abschnitt 4 bestätigt sich nun: Ydis 2 enthält den Beitrag eingefrorener
Ladungspaare zur Gesamtfugazität Y 2 .
Von besonderem Interesse für das kritische Verhalten ist die räumliche Abhängigkeit
der Korrelationsfunktionen auf großen Längenskalen r ≫ a 0 : Mit Hilfe der
asymptotischen Darstellung der Fugazitäten (5.4-5.6) können wir diese angeben,
wenn die Fixpunktwerte K ∞ und σ ∞ bekannt sind:
⎧(
C (r) ≈ −2
a 4 0
C dis (r) ≈ −2
a 4 0
C con (r) ≈ −2
a 4 0
⎪⎨ r
√
⎪⎩
⎧(
⎪⎨ r
√
⎪⎩
⎧(
⎪⎨
√
⎪⎩
a 0
) −2πK∞(1−1/2τ ∞)
σ∞
2π 2 ln r/a 0
πτ ∞
sin(πτ ∞)
(
a 0
) −4πK∞(1−1/τ ∞)
σ∞ πτ ∞(1−τ ∞)
2π 2 ln r/a 0 sin(πτ ∞)
) −2πK∞(1−1/2τ ∞)
r
a 0
σ∞
2π 2 ln r/a 0
πτ 2 ∞
sin(πτ ∞)
) −
π
r 2σ∞
a 0
(
(
) −
π
r 2σ∞
a 0
) −
π
r 2σ∞
a 0
für τ ∞ > 1
, (7.20)
für τ ∞ < 1
für τ ∞ > 2
, (7.21)
für τ ∞ < 2
für τ ∞ > 1
. (7.22)
für τ ∞ < 1
Wir erkennen, daß der Unordnungsbeitrag C dis für τ ∞ > 1 gegenüber C con exponentiell
klein ist. Für τ ∞ < 1 allerdings sind beide Beiträge von der gleichen
Größenordnung, wobei C dis mit sinkender Temperatur immer mehr Einfluß gewinnt.
Für τ ∞ < 1 werden also durch die Unordnung auch auf großen Skalen
eingefrorene Ladungen erzeugt, die das kritische Verhalten des Systems stark
beeinflussen.
7.3 Die Dielektrizitätskonstante
Dieser Abschnitt ist besonders für numerische und experimentelle Untersuchungen
wichtig, da die k-abhängige Dielektrizitätsfunktion ɛ(k) eine meßbare Größe
ist, die den BKT-Übergang anzeigt.
Wir betrachten die Abschirmung eines infinitesimalen externen Potentials V ext (k)
durch im System anwesende Ladungen, so daß effektiv das Potential V sc (k) vorhanden
ist. Daraus ergibt sich die folgende Definition der Dielektrizitätsfunktion:
ɛ (k) = V ext (k)
V sc (k) . (7.23)
Man kann sich leicht überlegen, wie sich ɛ(k) in der metallischen Phase verhält:
Die positiven, freien Ladungen werden sich in die Potentialmulden bewegen und