Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

7.4 Kritische Exponenten im 2D XY-Modell 61
Da die Fugazität Y 2
con klein ist und mit steigendem l schnell gegen null renormiert,
ist auch das Integral in Gleichung (7.34) klein. Das heißt, zur Berechnung von
K ∞ können wir nach diesem Integral entwickeln und erhalten:
K ∞ = 1 T c
− 4π3
T 2 c
∫ ∞
0
dl Y 2
con + O ( (4π 3
T 2 c
∫ ∞
0
) ) 2
dl Ycon
2
(7.35)
Im Rahmen der Näherung für kleine Fugazitäten ist dies identisch mit der rechten
Seite von (7.33). 3 Demnach gilt:
[ ]
ɛ
−1
0 d
= K ∞ . (7.36)
T c
Dies führt am Übergang zu einem Sprung in der Größe [ɛ −1
0 ] d/T c , da diese außerhalb
der BKT-Phase wegen (7.25) null ist. Dieser Sprung ist nun nicht mehr universell,
da er wie die Übergangstemperatur von der Unordnungsstärke σ c abhängt,
bei der der Übergang stattfindet. In Abschnitt 6.2 wurde begründet, daß für
σ c 0.3 die asymptotisch genäherten Gleichungen verwendet werden können;
in diesem Bereich ist es dadurch möglich, die Sprungbedingung in Abhängigkeit
der Unordnungsstärke, die hier unter Renormierung konstant bleibt, anzugeben.
Dazu verwenden wir, daß der renormierte Punkt auf der Phasengrenze für Y 2 = 0
aus Gleichung (5.15) liegen muß:
( √ )
K −1
∞ = π 4
1 +
1 − 8σ c
π
für σ c 0.3. (7.37)
Aufgrund dieses Sprungs ist die Dielektrizitätskonstante als Meßgröße (z.B. in
den numerischen Simulationen in Kapitel 8) wichtig, da sie den Phasenübergang
deutlich anzeigt.
7.4 Kritische Exponenten im 2D XY-Modell
In diesem Kapitel wollen wir die gefundenen Ergebnisse auf das XY-Modell anwenden
und dadurch dessen kritische Eigenschaften untersuchen. Wir untersuchen
dazu die Spin-Spin-Korrelationsfunktion
[〈s k · s l 〉] d
= [ Re 〈 e i(Θ k−Θ l ) 〉] d . (7.38)
Nun nehmen wir an, daß in unserem System keine Vortizes (Ladungen) vorhanden
sind, und die Temperatur klein ist. Das bedeutet, daß man die Periodizität
3 Für den reinen Fall existieren RG-Gleichungen von Minnhagen [9], in denen diese Korrekturen
für größere Fugazitäten in der Beziehung (7.35) nicht vorkommen; für kleine Fugazitäten
stimmen diese Gleichungen natürlich mit den in dieser Arbeit berechneten überein.