Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...
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54 7 Das kritische Verhalten einiger Größen<br />
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Abbildung 7.1: Hier ist Y senkrecht zur Linie (K −1 , σ) aufgetragen. Die durchgezogene<br />
Linie stellt die kritische Fläche dar, und die gestrichelte Linie eine Trajektorie, die in<br />
deren Nähe startet. Die Startwerte <strong>für</strong> das Villain-Modell sind durch die gepunktete<br />
Linie gegeben.<br />
vor, der durch die Parameter Y ref , K −1<br />
ref<br />
und σ ref bestimmt ist. Die beiden letzteren<br />
sind sogar so gewählt, daß sie jenseits der Phasengrenze <strong>für</strong> Y 2 = 0 aus<br />
Gleichung (5.15) liegen. Zusätzlich wird mit diesem metallischen Referenzbereich<br />
eine charakteristische Länge ξ ref (z.B. die Korrelationslänge) verknüpft.<br />
Im folgenden werden wir untersuchen, bis zu welchem l die RG-Gleichungen aufintegriert<br />
werden müssen, um von einem unrenormierten Startpunkt in der metallischen<br />
Phase mit der charakteristischen Länge ξ 0 und den Parametern Y 0 , K0<br />
−1<br />
und σ 0 durch Renormierung in die Nähe dieses Referenzpunktes zu gelangen.<br />
Insbesondere werden Startpunkte betrachtet, die sich in der Nähe der kritischen<br />
Fläche befinden und somit wegen des endlichen Wertes von Y 0 innerhalb der Phasengrenze<br />
<strong>für</strong> Y 2 = 0 (5.15) liegen. Dabei wird die Abhängigkeit des notwendigen<br />
l vom Abstand zur kritischen Fläche gesucht.<br />
Ein geeignetes Maß <strong>für</strong> diesen Abstand ist der minimale Wert der Fugazität Y min ,<br />
der während der Renormierung angenommen wird. Je kleiner dieser Wert ist,<br />
desto geringer ist auch der Abstand, und Y min = 0 bedeutet dann, daß die entsprechende<br />
Trajektorie marginal ist und auf der kritischen Fläche liegt. Dieser<br />
Wert wird genau auf der Linie (5.15) angenommen; im folgenden sind die Parameterpaare<br />
(Kp<br />
−1,<br />
σ p) immer als die Elemente dieser Linie aufzufassen, an denen<br />
eine Trajektorie mit vorgegebenen Startwerten diese Linie überschreitet. Eine<br />
Trajektorie ist somit entweder durch die Startwerte oder durch die Werte Y min<br />
und (Kp<br />
−1,<br />
σ p) eindeutig bestimmt. Da hier alle Parameter in der Nähe dieser<br />
Punkte (Kp −1 , σ p ) betrachtet werden, wird die Konstante der Bewegung (5.20)
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