Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

5.2 Eigenschaften des RG-Flusses 43
mierung steigt als die inverse Kopplungskonstante K −1 . Quantitativ wird das
anhand der folgenden Rechnung deutlich:
) (− K−1 dK −1
= 4π 3 τ (
σ Y 2 τ − 1 + τ
dτ
dl = 1 2
σ 2
dσ
dl + 1 σ
= 4π 3 τ (
σ Y 2 τ − 1 ) {
> 0, für τ > 1 2
=
.
2 < 0, für τ < 1 2
dl
σ
)
=
} K{{ −1
}
1
2τ
(5.17)
Folglich fällt der Wert für τ = K −1 /2σ im Bereich τ < 1/2 immer unter Renormierung,
und somit gilt auf einer RG-Trajektorie, die dort startet, auch immer
τ < 1/2.
Für die verschiedenen Gebiete des Parameterbereichs lassen sich zusätzlich Konstanten
der Bewegung angeben. Offensichtlich gilt für τ > 1:
σ = konst. (5.18)
Analog dazu erhält man für τ < 1:
K − σK 2 = konst. (5.19)
Durch diese Gleichungen sind die Projektionen der Trajektorien in die K-σ-Ebene
schon bestimmt; dies ist in Abb. 5.1 anhand einiger Trajektorien dargestellt. Wie
sich durch Einsetzen der Differentialgleichungen (5.11-5.13) einfach zeigen läßt,
sind die noch fehlenden Konstanten wie folgt gegeben:
(
Y 2 − π −3 K −1 − π 2 σK + π )
2 ln K = konst. für τ > 1, (5.20)
(
Y 2 − π −3 K −1 + σ + π )
4 ln K = konst. für τ < 1. (5.21)
Dadurch sind die Trajektorien im gesamten Gültigkeitsbereich der RG-Gleichungen
bestimmt.
Zusammenfassend läßt sich feststellen, daß für den Parameterbereich τ < 1 die
RG-Gleichungen deutlich von denen des reinen Systems abweichen, wohingegen
im restlichen Bereich die Eigenschaften des Systems mit Unordnung denen des
reinen Systems sehr ähnlich sind, da hier σ unter Renormierung konstant bleibt.
Die Unordnung hat also starken Einfluß im Bereich τ < 1, und zwar in Form
von eingefrorenen Ladungen. Sobald allerdings die Linie τ = 1 überschritten
wird, existieren keine großen, eingefrorenen Ladungspaare mehr, die das kritische
Verhalten beeinflussen. Dies wird in Abschnitt 7.2 anhand der Korrelationsfunktionen
vertieft.
Nun ist es möglich, die Näherung von Rubinstein et al. [2] physikalisch zu interpretieren:
Die Existenz von eingefrorenen (unordnungserzeugten) Ladungen wird