Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

2.1 Die Villain-Näherung 13
j
a
m a
n ij
i
b
m b
Abbildung 2.1: Die neuen Freiheitsgrade {m a } liegen auf dem dualen Gitter; durch
n ij = m a − m b wird die Bedingung (∂n) i
= 0 erfüllt.
Die Berechnung dieses Gauß’schen Integrals ist nun leicht möglich:
Z V = Z SW
∑
{q a}
{
exp − 2π 2 K ∑ a,b
(q a − Q a ) ˜G
}
ab (q b − Q b ) , (2.8)
wobei Q a die Unordnungsgröße in dieser Darstellung ist, und ˜G ab die Gitter-
Greensfunktion der Laplacegleichung (siehe unten). In einer weiteren Näherung
werden nur solche Vortizitäten q i mit q i ∈ {0, ±1} zugelassen, da genau diese
Ladungen bei schwacher Unordnung, wie im reinen Modell auch, den Übergang
treiben. Der Spinwellenanteil Z SW besteht hier aus den bereits vorhandenen Vorfaktoren
und einem q i -unabhängigen Faktor, der durch die Gauß-Integration entsteht.
Im weiteren wird dieser Anteil nicht mehr berücksichtigt, da er analytisch
in T ist und daher zum BKT-Übergang nicht beiträgt. Der Rest, der sogenannte
Vortexanteil, wird im folgenden mit Z bezeichnet. Für die darin enthaltene
Gitter-Greensfunktion ˜G ab gilt:
∑
(ϕ a − ϕ b ) 2 = ∑ a,b
〈ab〉
ϕ a ˜G−1 ab ϕ b, d.h. (2.9)
˜G −1
ab = 4δ ab − ∑ µ
δ a,b+µ . (2.10)
Das bedeutet, daß die Gitter-Greensfunktion die Laplace-Gleichung auf dem Gitter
erfüllen muß (∆ → 4δ ab − ∑ µ δ a,b+µ):
δ ab = ∑ c
˜G −1
ac ˜G cb = ∑ c
(
4δ ac − ∑ µ
δ a,c+µ
)
˜Gcb . (2.11)