Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

4.2 Berücksichtigung aller Ladungstypen (Näherung I) 37
den folgenden RG-Gleichungen haben wir nun ein abgeschlossenes System von
Differentialgleichungen, das wir mit Näherung I bezeichnen:
dE
= πK,
dl
(4.26)
dÊ
= π
dl
= πσK 2 , (4.27)
dK
= −4π 3 K 2 Y 2
dl
con, (4.28)
dσ
dl = 4π3 Ydis. 2
(4.29)
Der RG-Fluß ist hierdurch in einem Raum der vier Variablen E, Ê, K und σ
definiert. Dabei sind als Anfangswerte für K und σ die unrenormierten Werte zu
nehmen; diese bestimmen die Anfangswerte E = (π 2 /2)K und Ê = (π2 /2)σK 2 .
Durch die Gleichungen (4.22-4.24) kann man mit l = 0 die Anfangswerte der
Fugazitäten in Abhängigkeit von K und σ berechnen.
Die Anfangswerte für Y sind in Abb. 4.1 dargestellt. Man erkennt dabei, daß
Y auch für K −1 = 0 mit steigendem σ auf endliche Werte anwächst. Dies
liegt an eingefrorenen Ladungen, die durch die Unordnung erzeugt werden, und
stimmt mit unseren Überlegungen aus Abschnitt 2.2 überein. Für σ = 0 sollte
die Anfangsbedingung für Y 2 durch Y 2 = exp{−π 2 K} gegeben sein; aus Gleichung
(4.22) folgt aber Y 2 = exp{−π 2 K}/(1 + 2 exp{−π 2 K}). Anhand von Graphik
4.2 erkennt man allerdings, daß diese beiden Ausdrücke für den hier betrachteten
Bereich kleiner Fugazitäten gut übereinstimmen.
Man kann die Gleichungen (4.26-4.29) durch numerische Verfahren lösen; auf
analytischem Weg ist dies aufgrund der komplizierten funktionalen Abhängigkeit
der Fugazitäten (4.22-4.24) von E und Ê leider nicht möglich. Deshalb wird im
nächsten Abschnitt versucht, durch eine weitere Näherung diese Gleichungen auf
eine einfachere Form zu bringen.