Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

8.1 Der MC-Algorithmus 67
Abbildung 8.2: Durch den zusätzlichen MC-Schritt können einzelne Teilchen auf
Nächste-Nachbar- oder Übernächste-Nachbar-Plätze geschoben werden, soweit diese
frei sind.
Stelle des Gitters hinzu. Wie in Abb. 8.1 graphisch dargestellt ist, können dadurch
Paare erzeugt oder vernichtet werden, oder es werden einzelne Teilchen um
einen Gitterplatz verschoben.
Um gerade bei tiefen Temperaturen die Akzeptanzrate zu erhöhen, wurde dieser
Algorithmus noch erweitert, so daß auch ein bereits vorhandenes Teilchen ausgewählt
und auf einen Nächsten- oder Übernächsten-Nachbarplatz bewegt werden
kann (siehe Abb. 8.2).
Die Energieänderung durch einen elementaren MC-Schritt läßt sich schnell ermitteln,
wenn man für jeden Gitterplatz das Potential, das durch alle vorhandenen
Ladungen erzeugt wird, bereits berechnet hat; zusätzlich muß natürlich noch das
chemische Potential eines Paares bei Erzeugung oder Vernichtung berücksichtigt
werden. Dann läßt sich sofort entscheiden, ob der Schritt angenommen wird
oder nicht. Wir müssen also die Potentialänderung an allen Plätzen nur dann
neu berechnen, wenn er akzeptiert wird. Auch die Unordnung läßt sich in diesem
Algorithmus gut einführen, indem man auf alle Nächste-Nachbar-Paare Ladungsdipole
setzt, deren Stärken unabhängigen Gauß-Verteilungen gehorchen. Aus der
resultierenden Ladungsverteilung wird das zugehörige Potential berechnet, das
im Verlaufe der Simulation als konstanter Untergrund bleibt.
Mit diesem Algorithmus können Systeme mit linearer Ausdehnung bis zu ca.
L = 32 Gitterplätzen untersucht werden. Zwischen den einzelnen Messungen
werden L 2 MC-Schritte durchgeführt; dies wird als MC-sweep“ bezeichnet. Es
”
stellt sich heraus, daß für den warm-up“ 10 4 MC-sweeps“ benötigt werden, und
” ”
daß 10 5 Messungen, die durch je einen MC-sweep“ getrennt sind, durchgeführt
”
werden müssen, um eine zufriedenstellende Statistik zu erhalten. Für große Unordnungsstärken
bzw. tiefe Temperaturen (τ = 1/2Kσ klein) ist es zudem notwendig,
über einige Unordnungskonfigurationen zu mitteln. Dies war hier bei
L = 32 aufgrund der Rechenzeit nur über ca. 10 Konfigurationen möglich. Zudem
ist es leider auch nicht möglich, bei sehr tiefen Temperaturen T = K −1 < 0.83
zu rechnen, da die Akzeptanzrate hier zu gering ist; dies kann nur durch eine
wesentliche Erhöhung der MC-Schritte (Faktor 10 2 ) pro MC-sweep“ korrigiert
”
werden, wodurch wir wiederum an die Grenzen des Rechenzeitaufwands stoßen.
Als Meßgröße dient die inverse Dielektrizitätskonstante [ɛ −1
0 ] d aus Abschnitt 7.3,
wobei wir zur Berechnung die Gleichung (7.30) verwenden: Durch die MC-Simu-