Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

78 Anhang
D Die Integrale aus den Gleichungen (4.22-4.24)
Um die Integrale (4.22-4.24) in asymptotischer Näherung zu untersuchen, wird
nur der führende Beitrag in l des Integranden berücksichtigt. Zuerst wird das
Integral aus Gleichung (4.22) I = 2e −4l Y 2 berechnet; dabei wird die Symmetrie
des Interganden unter A → −A verwendet:
I = √ 2 ∫∞
π
0
dAe −A2
z + + z −
. (9.12)
1 + z + + z −
Wegen Gleichung (5.3) kann man im Bereich A ≥ 0 für l ≫ 1 den Anteil z −
gegenüber z + vernachlässigen, 1 und es bleibt folgendes Integral übrig:
I ≈ √ 2 ∫∞
dAe z −A2 +
. (9.13)
π 1 + z +
0
Zur Vereinfachung wird die Abkürzung α = (E 2 /2Ê)1/2 = √ πl/2σ eingeführt.
Der Integrand wird nun als geometrische Reihe dargestellt:
z + < 1 ⇐⇒ A < α
z +
∑ ∞
= z + (−1) ν z+ ν 1 + z . (9.14)
+
ν=0
z + > 1 ⇐⇒ A > α
z +
= 1
1 + z + 1 + 1 =
z +
∞∑
ν=0
(−1) ν z −ν
+ . (9.15)
Man muß das Integral also in die beiden Bereiche A ∈ [0, α) und A ∈ (α, ∞)
aufspalten und erhält:
I = √ 2 ∫∞
dAe z −A2 +
=
π 1 + z +
0
∞∑
(−1) ν I ν+1 < +
ν=0
∞∑
(−1) ν I ν > . (9.16)
ν=0
Dabei sind die Integrale I “ν wie folgt definiert (ν ≥ 0):
I < ν = 2 √ π
∫α
0
I ν > = √ 2 ∫∞
π
α
dAe −A2 z ν + = 2 √ π
e −2Eν
dAe −A2 z −ν
+ = 2 √ π
e +2Eν
∫α
0
∞
∫
α
{ √2Êν }
dA exp −A 2 + 2A , (9.17)
{ √2Êν }
dA exp −A 2 − 2A .
(9.18)
1 Dies gilt nur für σ > 0, denn für σ = 0 ist z − = z + ; andererseits ist das Integral dann
einfach zu lösen, da z ± unabhängig von A sind.