Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

Kapitel 9
Zusammenfassung und Ausblick
Abschließend werden wir in diesem Kapitel unsere Ergebnisse zusammenfassen
und die interessantesten Probleme darstellen, deren Lösung wir nicht finden konnten.
Als Ausgangspunkt unserer Untersuchungen diente die Arbeit Scheidls [1], wobei
dessen RG-Gleichungen erneut hergeleitet wurden. Bei deren Diskussion waren
wir allerdings genauer und arbeiteten den Unterschied zwischen Näherung I
(siehe 4.2) und der asymptotischen Näherung II (siehe 5.1) deutlicher heraus, indem
wir jeweils den resultierenden RG-Fluß untersuchten. Besonderes Augenmerk
richteten wir dabei auf die Entropiedichte in der BKT-Phase und den Verlauf der
Phasengrenze selbst.
Obwohl die asymptotische Näherung für den Grenzfall großer Längenskalen hergeleitet
wurde, verwenden wir sie, wie Scheidl auch, auf allen Längenskalen, um
daraus die Entropiedichte zu berechnen. Während Scheidl nun in seiner Arbeit
argumentiert, diese sei im gesamten Parameterbereich positiv, können wir dies
auf analytischem Weg nur für τ > 1 bestätigen; unsere numerische Auswertung
von Näherung II liefern darüber hinaus Gebiete, in denen die Entropiedichte
negativ ist. Auch die numerische Berechnungen der Entropiedichte mit den
RG-Gleichungen aus Näherung I liefern qualitativ das gleiche Ergebnis. Deshalb
können wir Replika-Symmetrie-Brechung in diesem Modell nicht ausschließen.
Dies ist besonders deshalb interessant, da Tang [28] die gleichen RG-Gleichungen
wie in Näherung II ohne den Replikatrick (aber mit zusätzlichen Näherungen)
hergeleitet hat.
Ein weiterer Schwerpunkt war die Bestimmung der Phasengrenze. Näherung II
zeigt das schon mehrfach diskutierte ”
reentrance“-Verhalten für σ 0.35, wohingegen
dieses in Näherung I nicht auftritt. Beim Vergleich der beiden Näherungen
im Bereich σ 0.3 stellt sich heraus, daß der RG-Fluß im kritischen Bereich in
beiden Fällen sehr gut übereinstimmt; dies ist besonders deshalb wichtig, da die
RG-Gleichungen in asymptotischer Näherung analytisch wesentlich einfacher zu
behandeln sind.
Insgesamt sind die Ergebnisse mit dem Harris-Kriterium (vgl. Abschnitt 1.2) in