Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

Kapitel 4
Der Replika-Limes n → 0
In diesem Kapitel wird versucht, die Ergebnisse aus Kapitel 3 so zu verallgemeinern
bzw. zu erweitern, daß man physikalisch sinnvolle RG-Gleichungen für
n → 0 erhält.
Einige dieser Verallgemeinerungen sind einfach durchzuführen; zum Beispiel kann
man in den Gleichungen (3.29) und (3.30) mit Hilfe der Überlegungen aus Anhang
B leicht den Replika-Limes durchführen:
dK αα
dl
dK α≠β
dl
= −4π
[(K 3 2 − 2K ˆK
)
Y 2 + 2K ˆKY
]
dis
2 , (4.1)
]
= −4π 3 [−2K ˆKY 2 +
(
K 2 + 2K ˆK
)
Y 2
dis
. (4.2)
Für den Skalenparameter l des RG-Flusses gilt dabei a = a 0 e l , also dl = da/a. Die
verschiedenen Fugazitäten sind nach wie vor durch die Gleichungen (3.26-3.28)
gegeben, wobei der Limes n → 0 in vernünftiger Weise durchgeführt werden muß;
dies stellt das Hauptproblem des nun folgenden Kapitels dar.
Die interessanten physikalischen Größen in den Gleichungen (4.1) und (4.2) sind
allerdings nicht die Komponenten von K, sondern die Kopplungskonstante K
und die Unordnungsstärke σ; unter Berücksichtigung von K αβ = Kδ αβ − σK 2
erhält man dann die RG-Gleichungen für K und σ:
dK
= −4π 3 K 2 Ycon 2
dl
(4.3)
dσ
dl = 4π3 Ydis 2 (4.4)
Dabei haben wir folgende Vorstellung von den verschiedenen Fugazitäten: In Abschnitt
7.2 werden wir sehen, daß die Dichte der im Unordnungspotential eingefrorenen
Ladungen durch Ydis 2
2
bestimmt ist, und entsprechend Ycon den Beitrag
der freien Ladungen zur Gesamtfugazität Y 2 = Ydis 2 + Y con 2 angibt. Deshalb gibt
der Quotient Ydis 2 /Y 2 die Glasartigkeit“ des Systems an. Wir erkennen dann,
”
daß die eingefrorenen Ladungen nur die Unordnungsstärke renormieren und die