Diplomarbeit Der Berezinski˘i-Kosterlitz-Thouless - Institut für Physik ...

7.4 Kritische Exponenten im 2D XY-Modell 63
ist die Verteilung gaußisch mit Mittelwert null und dem zweiten Moment (vgl.
Abschnitt 2.1)
[( ∑ )( ∑ )] (
A i,i+µ A j,j+µ = σ 4δ ij − ∑ δ i,j+µ
). (7.45)
d
µ
µ
µ
Damit können wir das Unordnungsmittel in (7.44) ausführen und erhalten mit
Gleichung (2.11) das folgende Ergebnis:
{
[〈s k · s l 〉] d
= exp − 1 } {
K G kl exp
(G ik − G il ) ×
∑
j
= exp
− 1 2 σ ∑ i
) }
δ i,j+µ (G jk − G jl ) =
(
4δ ij − ∑ µ
{ ( ) }
1
−
K + σ G kl .
(7.46)
Damit wurde die Spin-Spin-Korrelationsfunktion in der Spinwellennäherung berechnet;
wenn wir in die Kontinuumsdarstellung wechseln, so können wir die
Korrelationsfunktion für große Abstände mit Hilfe von Gleichung (2.16) durch
folgenden Ausdruck angeben:
( ) −(1+σK)/2πK |r|
[〈s (r) · s (0)〉] d
∝
. (7.47)
a 0
Für tiefe Temperaturen und schwache Unordnung finden wir also eine algebraisch
zerfallende Spin-Spin-Korrelationsfunktion. Da die Spin-Rotationssymmetrie
in diesem Bereich zwar nicht gebrochen ist, aber die Korrelationsfunktion des
Ordnungsparameters algebraisch (nicht exponentiell) zerfällt, spricht man von
quasi-langreichweitiger Ordnung. Diese wird bei höheren Temperaturen oder Unordnungsstärken
durch Vortexanregungen zerstört.
Durch die Spinwellennäherung allein kann das kritische Verhalten des XY-Modells
so nicht zufriedenstellend beschrieben werden, da Vortizes im System vorhanden
sind, und folglich die Periodizität des Cosinus relevant wird. Aus den RG-
Untersuchungen ist allerdings bekannt, daß die Vortizes innerhalb der BKT-Phase
gebunden sind, und ihre Fugazität bzw. Dichte gegen null renormiert. Dadurch
ist für das renormierten System wieder eine Spinwellenbeschreibung möglich, allerdings
nun mit den renormierten Fixpunktparametern K∞
−1 und σ ∞. Somit hat
die Korrelationsfunktion für große r in der gesamten BKT-Phase folgendes Verhalten:
( ) −(K |r|
∞ −1 +σ ∞)/2π
[〈s (r) · s (0)〉] d
∝
. (7.48)
a 0
Hieraus erhält man direkt den Exponenten η, der den räumlichen Zerfall der
Korrelationsfunktion am Phasenübergang bestimmt, wenn man die Temperatur