Vorlesungsskript Finanzmathematik I

1.3 Optionen 10
T zu einem heute fixierten Preis K zu kaufen. K heißt Ausübungspreis (exercise price, strike),
T − t heißt Restlaufzeit.
Eine europäische Put Option ist das Recht, das Wertpapier in einem zukünftigen festen Zeitpunkt
T zu einem heute fixierten Preis K zu verkaufen.
Eine amerikanische Call (bzw. Put) Option ist das Recht, das Wertpapier zu einem beliebigen
zukünftigen Zeitpunkt t ≤ T zu einem heute fixierten Preis zu kaufen (bzw. zu verkaufen).
Auszahlungsprofil bei Fälligkeit. Wir betrachten zunächst die Call Option. Ein rationaler
Investor wird das Optionsrecht nur ausüben, falls S(T ) > K (anderenfalls kann er die Aktie
billiger am Markt kaufen); in diesem Fall erzielt er einen Gewinn in Höhe von S(T )−K. Insgesamt
ist die Auszahlung einer Call Option also durch
C T = max{S T − K, 0} =: (S T − K) + (1.6)
gegeben. Analog ergibt sich für die Endauszahlung der Put Option
P T = max{K − S T , 0} =: (K − S T ) + .
Die folgende Abbildung illustriert obige Auszahlungsschemata.
C T ✻
P T ✻
K
❅
❅❅❅❅
✲
K
S T
K
✲
S T
Optionen im Risikomanagement.
Beispiel 1.3.2 (Absichern eines Aktiendepots mit Put Optionen). Ein Anleger hält heute (Zeitpunkt
t = 0) 10 Akien im Depot mit heutigem Kurs S 0 . Er möchte vermeiden, dass der Wert
der Aktienposition im zukünftigen Zetpunkt t = 1 unter den heutigen Wert V 0 = 10S 0 fällt.
Deshalb kauft er heute 10 europäische Put Optionen auf S mit Ausübungspreis K = S 0 . Damit
haben wir in t = 1 den Wert
{ 10(S1 + 0) falls S
V 1 =
1 > S 0
10(S 1 + (S 0 − S 1 )) = 10S 0 falls S 1 < S 0 .
Der Investor hat keinen Verlust, aber in t = 0 ist eine Zahlung der Optionsprämie erforderlich.
Beispiel 1.3.3 (Absichern des Wechselkursrisikos bei Rohöllieferung). Firma A erwartet in einem
Monat eine in USD fakturierte Rohöllieferung im Wert von 1 Mio. EUR. e 1 sei der heute
unbekannte USD/EUR Wechselkurs in einem Monat, e 0 = 1.15 sei der heutige Wechselkurs. Zur
Vereinfachung seien die USD und EUR-Zinsen gleich. Betrachte nun die folgenden Strategien:
• Strategie 0: ”
Mache gar nichts.“
• Strategie 1 (Terminvertrag): Kaufe 1 Mio. USD auf Termin mit Basispreis K = e 0 = 1.15
(nach Lemma 1.2.3 ist dann heute keine Zahlung fällig)
• Strategie 2 (Option): Kaufe 1 Mio. Calls auf USD mit Fälligkeit in einem Monat und
Basispeis K = 1.15; Zahle pro Option eine Prämie von C 0 .