Vorlesungsskript Finanzmathematik I

1.3 Optionen 12
Portfolio Wert in t Wert in T
S T ≤ K
S T > K
• Kaufe Call C t C T = 0 C T = S T − K
• Kaufe K Nullkuponanleihen KB(t, T ) K K
• Verkaufe Aktie −S t −S T −S T
< 0 K − S T ≥ 0 S T − K + K − S T = 0
Diese Strategie offeriert also zur Zeit t einen positiven Betrag und zur Zeit T keine Ausgabe,
also einen Arbitragegewinn. Es folgt die Behauptung.
Es ist interessant, sich die untere Grenze genauer anzusehen. ”
≥“ heißt, dass man den Call-
Preis in zwei Teile zerlegen kann:
C t = S t − KB(t, T ) + x, x ≥ 0.
Das folgende Lemma zeigt, dass x gerade durch die Prämie für einen Put gegeben ist.
Lemma 1.3.5 (Put-Call Parität). Für den Preis des europäischen Calls (C t ) und Puts (P t ) auf
eine Aktie S ohne Dividendenzahlung gilt folgender Zusammenhang:
C t = S t − KB(t, T ) + P t . (1.8)
Beweis: Die Idee ist, zwei Portfolios zu bestimmen, die in T den gleichen Wert haben und im
Zeitintervall (t, T ) keine Auszahlungen haben. Dann müssen sie auch zu jedem anderen Zeitpunkt
den gleichen Wert haben.
Portfolio 1 Wert in t Wert in T
S T ≤ K S T > K
• Kaufe Call C t C T = 0 C T = S T − K
• Kaufe K Nullkuponanleihen KB(t, T ) K K
C t + KB(t, T ) max{S T , K}
Portfolio 2
• Kaufe Put P t P T = K − S T P T = 0
• Kaufe Aktie S t S T S T
P t + S t max{S T , K}
Es ist überraschend, welche weitreichende Konsequenzen das einfache Lemma 1.3.4 hat: Neben
europäischen Optionen gibt es auch amerikanische Optionen. Insbesondere bei einem Call
gestaltet sich die Beziehung besonders einfach. Mit Ct A , Pt
A bezeichnen wir den Wert eines
amerikanischen Calls bzw. Puts.
Satz 1.3.6 (Satz von Merton). Unter der Voraussetzung, dass die Aktie S in [t, T ] keine Dividenden
zahlt, ist es nie optimal, einen amerikanischen Call vorzeitig auszuüben. Insbesondere
gilt also
C A t = C t . (1.9)