Vorlesungsskript Finanzmathematik I

1.2 Derivative Produkte 8
Lemma 1.2.2. Sei S(t) der Preis eines zu Spekulationszwecken gehandelten Wertpapiers, das
im Intervall [t, T ] keine Dividenden oder Zinsen auszahlt. Dann ist in einem arbitragefreien
Markt der Wert des Terminvertrages auf S mit Fälligkeit T und Basispreis K gegeben durch
S(t) − B(t, T )K. Speziell gilt also für den Terminpreis F S (t, T ) =
S(t)
B(t,T ) ≥ S(t).
Beweis: Zum Beweis bilden wir die Auszahlung des Terminvertrages durch ein Portfolio aus
Wertpapieren und Nullkuponanleihen nach. Den zunächst unbekannten Wert einer long Position
im Terminvertrag sei mit x bezeichnet.
Portfolio Wert in t Wert in T
• Kaufe eine Einheit von S S(t) S(T )
• Verkaufe K Nullkuponanleihen B(·, T ) −KB(t, T ) −K
K
bzw. leihe
B(t,T ) Geldeinheiten
• Halte short position in Terminvertrag −x − ( S(T ) − K )
S(t) − K(B(t, T ) − x 0
Das betrachtete Portfolio hat in T den Wert 0, und hat, da wir Zins- und Dividendenzahlungen
ausgeschlossen haben, auch keine Zahlungen zu anderen zukünftigen Zeitpunkten. In einem
arbitragefreien Markt muss also auch der heutige Wert des Portfolios gleich Null sein. Es folgt
x = S(t)−KB(t, T ). Der Terminpreis F S (t, T ) ist derjenige Wert von K, so dass x = 0. Auflösen
nach K liefert F S (t, T ) =
S(t)
B(t,T )
≥ S(t), da bei nicht-negativen Zinsen B(t, T ) ≤ 1.
Das im Beweis von Lemma 1.2.2 verwandte Portfolioargument wird auch als cash-and-carry
Arbitrage bezeichnet.
Terminverträge auf Devisen. Hier ist eine Modifikation der im Beweis von Lemma 1.2.2
verwendeten cash-and-carry Arbitrage nötig, um den Zinsertrag einer Anlage in ausländischer
Wärung zu berücksichtigen. Wir verwenden folgende Notation:
• e(t) bezeichne den Wechselkurs im Zeitpunkt t (Anzahl Euros pro Einheit der ausländischen
Währung)
• B d (t, T ) sei der Preis einer deutschen Nullkuponanleihe
• B f (t, T ) sei der Preis in ausländischer (foreign) Währung einer ausländischen Nullkuponanleihe.
Lemma 1.2.3. In einem arbitragefreien Markt ist der Terminpreis der ausländischen Währung
gegeben durch
F e (t, T ) = e(t) Bf (t, T )
B d (t, T ) . (1.5)
Die Beziehung in (1.5) wird oft auch als gedeckte Zinsparität bezeichnet.
Beweis: Wir verwenden wiederum ein Portfolioargument: