Vorlesungsskript Finanzmathematik I

3.2 Arbitragefreiheit und Martingalmaße 34
Beweis: Es reicht, zu zeigen, dass es keine Strategie θ mit V θ
0 ≤ 0, V θ N ≥ 0 und P (V θ N > 0) > 0
geben kann. Dazu zeigen wir, dass für jede Strategie θ mit V θ N ≥ 0, P (V θ N
> 0) > 0 auch
V θ
0 > 0 gelten muss.
Da sign(V θ N ) = sign(Ṽ θ N ), folgt, dass für jede derartige Strategie auch Ṽ θ N ≥ 0, P (Ṽ θ N > 0) > 0
gilt; aus Q ∼ P ist, folgt Q(Ṽ θ N
> 0) > 0 und somit EQ (Ṽ θ N
) > 0. Nach Lemma 3.2.3 ist Ṽ θ
aber ein Q-Martingal, insbesondere gilt also V θ
0 = Ṽ θ
0 = EQ (Ṽ θ N ) > 0.
Nunmehr wollen wir die Umkehrung von Proposition 3.2.4 beweisen. Hierzu brauchen wir die
folgende Charakterisierung der Martingaleigenschaft von ˜S.
Lemma 3.2.5. Der diskontierte Preisprozess ˜S ist genau dann ein Q-Martingal, wenn für jede
zulässige, selbstfinanzierende Handelsstrategie gilt, dass E Q (
˜Gθ
N
)
= 0.
Beweis. Da |Ω| < ∞, ist θ stets beschränkt und man erhält die Aussage aus Lemma A.1.11.
Proposition 3.2.6. Falls das Finanzmarktmodell M arbitragefrei ist, so gibt es mindestens ein
äquivalentes Martingalmaß.
Bemerkung. Zusammengenommen zeigen die Propositionen 3.2.4 und 3.2.6 also gerade, dass
die Arbitragefreiheit des Finanzmarktmodells M äquivalent ist zur Existenz von äquivalenten
Martingalmaßen. Dies ist der berühmte erste Hauptsatz der Wertpapierbewertung.
Beweis von Proposition 3.2.6:
Definiere
P :=
{
X : Ω ↦→ R : X(ω k ) ≥ 0, 1 ≤ k ≤ K, und
K∑
k=1
{ }
M := ˜Gθ N : θ ist selbstfinanzierende Handelsstrategie .
}
X(ω k ) = 1
Wir können P und M mit Teilmengen von R K identifizieren, indem wir jede Zufallsvariable
ξ : Ω ↦→ R durch den Vektor (ξ(ω 1 ), . . . , ξ(ω K )) ′ darstellen. Aus (NA) folgt M ∩ P = ∅; sonst
existierte eine selbstfinanzierende Handelsstrategie, θ mit ˜G θ N (ω k) > 0 für mindestens ein k ∈
{1, . . . , K}. Dann ist P eine konvexe, abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von R K und
M aufgrund der Linearität der Abbildung θ → ˜G θ N ein linearer Unterraum von RK . Der Satz
von Hahn-Banach 1 liefert nun die Existenz eines linearen Funktionals F : R K ↦→ R, so dass
F (m) = 0 für alle m ∈ M und F (p) > 0 für alle p ∈ P .
Der letzte Schritt besteht nun in der Konstruktion des Maßes Q aus F . Mit {e k : 1 ≤ k ≤ K}
seien die Einheitsvektoren auf R K bezeichnet. Dann ist e k ∈ P für jedes K, und somit F (e k ) > 0.
Durch
q k :=
F (e k )
∑ K
i=1 F (e i)
1 Genau genommen, seine geometrische Version, die man oft auch als Trennungssatz bezeichnet, siehe Werner
(2000), Theorem III.2.4 und Theorem III.2.4.5. Wir verwenden eine unmittelbare Folgerung aus dem zweiten
Theorem, nämlich dass für einen linearen Unterraum M und einer konvexen, abgeschlossenen Menge P mit
M ∪ P = ∅ ein lineares Funktional F existiert, so dass F (M) = 0 und F (P ) > 0. Denn nach dem Theorem
existiert für ein m ∈ M ein lineares Funktional ˜F mit ˜F (m) < inf{ ˜F (p) : p ∈ P }; durch F (x) := ˜F (x) − ˜F (m)
erhalten wir das gesuchte F .