Vorlesungsskript Finanzmathematik I

1.2 Derivative Produkte 6
Literatur. Es gibt mittlerweile eine Reihe von guten Einführungen in die Finanzmathematik.
Das vorliegende Skript orientiert sich an den Büchern Bingham & Kiesel (2004), Shreve (2004)
und Pliska (1997). Ausgezeichnete weiterführende Text sind Föllmer & Schied (2004), Delbaen
& Schachermayer (2006). Finanzmathematik in stetiger Zeit wird in der Vorlesung im nächsten
Semester behandelt. Die benötigten Hilfsmittel aus der konvexen Analysis und linearen bzw.
konvexen Optimierung findet man etwa in Bertsimas & Tsitsiklis (1997) und Bertsekas (1999).
1.2 Derivative Produkte
1.2.1 Zinsen und Nullkuponanleihen
Sei t < T . Die Nullkuponanleihe B(t, T ) gibt den heutigen (Zeit t) Preis einer Geldeinheit
in T an; B(t, T ) wird auch als Diskontfaktor bezeichnet. Der Preis B(t, T ) hat die folgende
Eigenschaft:
• positive Zinsen ⇒ B(t, T ) ≤ 1
• kein Konkursrisiko (default risk), etwa im Fall von Staatsanleihen ⇒ B(T, T ) = 1.
Nullkuponanleihen werden an Finanzmärkten gehandelt, speziell für relativ kleine Restlaufzeiten
T − t. Darüber hinaus sind Nullkuponanleihen aber auch ein wichtiges Gedankenkonstrukt etwa
bei der Analyse von Zinsmärkten; so lassen sich die Preise der meisten gehandelten Anleihen als
Linearkombination der Preise von Nullkuponanleihen darstellen.
Zinsen. Auf Zins- und Anleihemärkten werden Preise von Nullkuponanleihen häufig nicht
direkt angegeben; stattdessen werden Zinssätze quotiert. Hier gibt es verschiedene Marktkonventionen.
(i) Diskrete Verzinsung (Zinseszinseffekte nur zu diskreten Zeitpunkten).
• jährliches compounding. Sei T ∈ N. Bei jährlichen compounding ist der Zinssatz r c , der
zur Nullkuponanleihe B(0, T ) gehört, durch die Gleichung
B(0, T ) =
gegeben; r c hängt im Allgemeinen von T ab.
1
(1 + r c ) T (1.1)
• n-faches compounding pro Jahr, etwa halb- oder vierteljährlich, aber Annualisierung (Skalierung
auf Jahresbasis). Der zugehörie Zinssatz r c,n ist durch die Gleichung
definiert und hängt wiederum von T ab.
1
B(0, T ) =
(1 + r (1.2)
c,n
n )nT
• LIBOR-rates. Ein Spezialfall ist die LIBOR-Rate mit Laufzeit α = 1 n
(α = 1/2 oder
α = 1/4 in der Praxis). Die LIBOR-Rate L(0, α) in t = 0 mit compounding Periode α ist
durch
1
B(0, α) =
(1.3)
1 + α L(0, α)
gegeben. Der Name LIBOR steht für ”
London InterBank Offered Rate“ und hängt mit der
Art zusammen, in der LIBOR-Raten quotiert werden.